Параметрическое программирование

1

Параметрическое программирование представляет собой один из разделов математического программирования, изучающий задачи, в которых целевая функция или ограничения зависят от одного или нескольких параметров.

Необходимость рассмотрения подобных задач обусловлена различными причинами, основная из которых связана с тем, что исходные данные для численного решения любой реальной задачи оптимизации практически всегда определяются приближенно или могут изменяться под влиянием каких-то факторов, что может существенно сказаться на оптимальности выбираемой программы (плана) действий. В роли таких факторов могут выступать время, температура, курс доллара по отношению к рублю, цена на сырье, удаленность от поставщиков и др. Соответственно, чтобы быть готовым к изменениям ситуации (исходных данных), при решении оптимизационной задачи разумно указывать не конкретные данные, а диапазон возможного изменения данных.

С математической точки зрения параметрическое программирование выступает как одно из средств анализа чувствительности решения к вариации исходных данных, оценки устойчивости решения.

Существуют различные подходы к подобному анализу. Один из них связан с т.н. постоптимальным анализом, где, отыскав оптимальный план для конкретных исходных данных, мы пытаемся выяснить диапазоны вариации этих данных, при которых найденный план остается оптимальным. Другой подход базируется на включении некоторых параметров в математическую модель и построении решения как функции от них .

Сразу оговоримся, что универсальных методов анализа устойчивости решений произвольной задачи математического программирования нет и в случае множественности параметров или нелинейных связях трудности такого анализа даже с помощью современных компьютеров исключительны.

2

Рассмотрим задачу параметрического линейного программиро-

вания, в которой только коэффициенты целевой функции линейно

зависят от некоторого единственного параметра :

отыскать максимум (или минимум) функции

n

L ( X , ) = ( C j + D j ) X j j 1

при условиях

n

Если обратиться к геометрической интерпретации задачи, то можно заметить, что градиент линейной формы зависит от параметра. Например, для целевой функции L(X, ) = X1 + (1- )X2 при различных значениях параметра градиент определяет различные на-

правления роста функции.

Нетрудно видеть, что, если при некотором значении параметра максимум достигается в вершине A, то небольшая вариация этого значения несколько изменит направление градиента, но не изменит положение точки максимума.

Отсюда напрашивается вы-

вод, что некоторый план, оп-

Можно заметить, что при градиенте, ставшем перпендикулярным некоторой стороне многоугольника планов, имеем два разных оптимальных опорных плана с одним и тем же значением линейной формы, откуда можно утверждать непрерывность экстремума линейной формы по .

3

В случае неограниченности множества планов можно утверждать, что если линейная форма не ограничена при каком-то = 0 ,

то она не ограничена при всех , больших или меньших 0.

Алгоритм для решения задач параметрического линейного программирования в случае зависимости от параметра коэффициентов целевой функции незначительно отличается от обычного симплексно-

го метода (примеры решения подобных задач приведены ниже).

В случае зависимости от параметра компонент вектора пра-

во избежание сложностей, связанных с требованием сохранения неотрицательности компонент плана при любых (сохранения неотрицательности правой части системы уравнений при всех ее тождественных преобразованиях), достаточно постановить и решить сопряженную задачу, воспользовавшись вышеупомянутым алгоритмом решения задач параметрического линейного программирования при зависимости от параметра коэффициентов целевой функции, и с помощью известных двойственных соотношений отыскать решение исходной задачи.

Пример 1. Рассмотрим задачу минимизации

L(X, ) = X1 - X2 - X3 + X4

при условиях

4

Решение. Как обычно, приводим задачу к канонической форме и с использованием метода искусственного базиса отыскиваем началь-

Так как определяющую роль на этом шаге решения играет величина M, превышающая все величины задачи, то не обращаем внимания на и, обнаружив невыполнение критерия оптимальности для

X0, вводим в базис A4 вместо A7 (переходим к следующему опорному плану):

Полученный опорный план X1 = (0, 0, 0, 5, 0, 8) c L(X1, ) = 5

будет оптимальным, если все значения k неположительны, т. е.

Решаем систему двух линейных неравенств и обнаруживаем, что найденный план X1 оптимален при = 3 .

Исследуем оставшиеся из заданного диапазона значения ..

Пусть > 3 . Тогда 2 >0 и вектор A2 подлежит вводу в базис, но в силу неположительности его компонент приходим к выводу, что

при >3 линейная форма задачи не ограничена снизу.

Пусть < 3 . Тогда 1> 0 и в базис вводится вектор A1 :

обычное решение обычным симплексным методом. Заметьте, что ука-

8

В строке Zk (в позициях 6, 4 и 5 в соответствии с начальным ба-

зисом) находим решение прямой задачи: Xopt =( 3+ , -0 , -0 ) , L(Xopt) = 3+ .

Пусть <-3 . Попытка ввода в базис вектора A3 обнаруживает, что в этом случае линейная форма решаемой (двойственной) задачи не ограничена снизу и, следовательно, ограничения исходной задачи

противоречивы.

В случае > -1/3 имеем:

Видим, что

при 5 Yopt = (0, 1), Xopt=(0, -5+ , -0), L(Xopt) = 5- .

Интервал значений параметра исчерпан, выявлены четыре интервала устойчивости оптимальных решений задачи.

9

Увы, в случае зависимости от параметра компонент матрицы ограничений столь простого универсального подхода к решению не существует.

Из рассмотренных примеров видно, что иногда на начальных этапах возникают противоречивые системы неравенств. Во избежание этого можно начинать процесс с поиска оптимального плана для min

(или max). Отыскав таковой, можно приступать к последующему анализу подинтервалов оптимальности. Такой подход является естественным и при программной реализации задачи.