- •МАТЕМАТИКА
- •Кемерово 2012
- •Выбор номеров задач контрольной работы
- •МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ
- •4. Обыкновенные дифференциальные уравнения
- •Таблица 1
- •Дифференциальные уравнения первого порядка
- •Таблица 3
- •Общее решение однородного уравнения
- •Таблица 4
- •Частное решение неоднородного уравнения
- •Обыкновенные дифференциальные уравнения
- •Список рекомендуемой литературы
- •Составители:
- •МАТЕМАТИКА
- •Печатается в авторской редакции
18
Таблица 1
Дифференциальные уравнения первого порядка
Тип дифферен- |
Вид уравнения |
Метод решения |
||||||||||||
циального |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
уравнения |
пер- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вого порядка |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. С разделяю- |
|
dy |
= f1(x) f2 (y) |
|
∫ |
|
dy |
= ∫f1(x)dx |
||||||
|
dx |
f2 (y) |
||||||||||||
щимися |
пере- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
менными |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Однородное |
|
dy |
= f |
Подстановка |
||||||||||
|
|
|
y |
|
y |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
dx |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= u, y = ux , |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
приводит к |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y′ = u′x + u |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
уравнению первого типа |
|||||||
3. Линейное |
|
dy |
+ P(x)y = Q(x) |
Подстановка |
||||||||||
|
|
|
|
|
y = u(x) v(x) |
|
||||||||
|
|
|
dx |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
приводит к уравнениям |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
первого |
типа |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
+ P(x) v = 0, |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
du |
|
v = Q(x) |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
произвольную постоянную для v полагаем равной нулю. Получаем уравнение для нахождения функции u
du |
e |
−2x |
= x, du = |
x |
dx, |
du = x e |
2x |
dx, |
∫du = ∫x e |
2x |
dx, |
dx |
|
e−2x |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u = 12 x e2x − 12 ∫e2xdx = 12 x e2x − 41 e2x + c .
Решение исходного уравнения имеет вид
y = uv = 12 xe2x − 41 e2x + c e−2x .
При решении задач № 121-150 используются приёмы решения дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными