ЭМММ лаба 1

1

Как известно, общая задача линейного программирования состоит в поиске значений переменных, удовлетворяющих некоторым линейным ограничениям и обеспечивающих наибольшее (наименьшее) значение заданной линейной функции. Например, требование:

максимизировать

L(x1, x2, x3) = 2x1 + x2 + 4x3

при условиях

x1 +2x2 + 3x3 ≤ 12, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0

означает пожелание не только отыскать значения неких величин x1, x2 и x3, удовлетворяющих вышеприведенным четырем условиям, но и среди них найти такие, что функция L(x1, x2, x3) принимает самое большое значение.

В роли неизвестных величин могут выступать, например, объемы выпуска продукции (обуви, приборов ночного видения или микроскопов), распределение денежных средств на ликвидацию ветхого жилья и строительство медицинских учреждений, тираж поэм М. Ю. Лермонтова и «заговоров от сглаза»; ограничения связаны с расходом материалов, наличием льгот на отдельные виды изданий, рыночной конъюнктурой или личными предпочтениями, а целевая функция L(Х) может определять прибыль от произведенной продукции или объем неосвоенных средств.

Количество неизвестных величин, фигурирующих в постановке задачи, называют ее размерностью. Набор их значений, удовлетворяющих условиям задачи, называют планом (примером может служить программа производства – набор значений показателей, удовлетворяющий ограничениям по сырьевым, социальным и прочим факторам).

Может обнаружиться, что задача неразрешима – не существует ни одного плана (ограничения противоречат друг другу). Может быть единственный план или много (множество) планов, среди которых надо найти наилучший (оптимальный), дающий максимум прибыли

2

(морального удовлетворения, степени очистки воды) или минимум затрат (жалоб населения, отходов при деревообработке и др.).

Размерность реальных задач, как правило, велика (от десятков до нескольких сотен). Здесь мы намерены на примере двумерных задач дать читателю наглядное, графическое представление о существе решаемых линейных программ (полагая, что всякий человек способен рисовать на плоском листе бумаги и воспринимать конструкции окружающего нас трехмерного пространства). Наличие такого представления может помочь и при обобщении выводов на задачи бóльшей размерности.

Естественно, что для решения задачи желательно сначала получить представление о множестве планов (допустимых решениях) и лишь затем из этого множества выбрать наилучший (с точки зрения поставленной цели).

Обратимся к знаниям, полученным еще в школьные годы. Из-

ченные прямой α X + β Y = γ.

Поскольку система ограничений двумерной задачи линейного программирования определяет множество точек плоскости, лежащих или на прямых линиях, или в полуплоскостях, ограниченных такими линиями, то множество планов может быть представлено точкой, частью прямой линии, фигурой, напоминающей выпуклый многоугольник, но никак не эллипсом, полумесяцем или другим криволинейным

щие прямые линии (прямую 2x + 3y = 7 по точкам пересечения с координатными осями; прямая y = 0 совпадает с осью 0x; прямая x – 2y = 0 проходит через начало координат и, например, точку с ко-

4

ставлена выделенным здесь треугольником.

Возьмем систему ограничений вида -2 ≤ x + 2y ≤ 2, x + y ≥ 0. Построив соответствующие три прямых и выяснив подходящие полуплоскости, обнаруживаем, что множество планов – неограниченный многоугольник (треугольник, одну из вершин которого «отправили в бесконечность»), приведенный на рис. 2.

Если взять систему ограничений вида x + 2y ≥ 3, 2x + y ≤ 2, x − y ≥ 0, то легко убедиться (рис. 3), что ни одной точки, которая удовлетворяла бы всем трем условиям, найти не удастся – ограничения противоречивы (множество планов пусто).

Возьмем систему ограничений, в которой наряду с неравенствами присутствуют равенства, например, 2≤ x + y ≤ 3, x − y = 0. Эта система требует, чтобы приемлемые решения (точки, планы) принадлежали полуплоскостям x + y ≥ 2, x + y ≤ 3 и лежали на прямой линии x − y = 0. Соответственно, здесь множество планов определяется отрезком АВ (координаты точек А и В можно найти из решения

мой линии (ограниченный или неограниченный), точку или отсутствовать по причине противоречивости ограничений (никаких криволинейных или невыпуклых фигур).

5

Теперь, вспомнив о нашей цели, зададимся вопросом: какой же из найденного множества планов является оптимальным (обеспечивает наибольшее (наименьшее) значение нашей целевой функции)?

Нарисуем схематично не только множество планов в плоскости (x, y), но и целевую функцию z = L(x, y), изображаемую плоскостью трехмерного пространства, где значение z характеризует удаление этой плоскости от плоскости (x, y). Очевидно, что наибольшее и наименьшее удаление от множества планов имеет место в некоторых его вершинах,

но никак не в его внутренних точках (рис. 5).

Если подобное изображение не убеждает вас в этом (или вы забыли, что уравнение плоскости в трехмерном пространстве можно представить линейным уравнением α x + β y + γz = c), привлечем на помощь понятие о градиенте функции − векторе, составленном из ее частных производных, который показывает направление наибольшего возрастания функции в окрестности точки. Для нелинейных функ-

ций градиент меняется от точки к точке. Так, если f(x, y) = x2 + xy, то grad f(x) = {2x + y, x} в различных точках меняет свою ориентацию. В случае же линейной функции, составляющие ее градиента совпадают с ее коэффициентами, например grad{L(x, y) = 2x + 5y} = {2, 5}, и градиент остается неизменным во всех точках (в частности, во всех точках множества планов).

На рис. 6 мы изобразили множество планов задачи (многоугольник ABCDE) и показали стрелками направление градиента. Выбирая любую внутреннюю точку множества планов, мы видим, что в ее окрестности можно найти другую точку (смещением по градиенту в прямом или обратном направлении) c бóльшим (меньшим) значением

6

L(x ,y). Очевидно, что в данном случае максимум достигается в точке D, а минимум − в точке Е. Разумеется, если градиент перпендикулярен некоторой грани множества (отрезку прямой), то экстремум достигается во всех точках этого отрезка (в частности, и на его концах).

Напрашивается вывод, что при поиске точек экстремума (максимума или минимума) линейной функции (оптимальных планов)

достаточно рассматривать лишь вершины множества планов, но не внутренние его точки. Более того, в двумерном случае при достаточно аккуратных построениях с соблюдением масштаба можно не перебирать все вершины (количество их конечно, но может быть сравнительно большим), а сразу видеть экстремальную.

Обратите внимание на рис. 7, где множество планов является неограниченным. Построив градиент целевой функции, легко видеть, что максимум достигается в вершине L, тогда как по минимуму функция не ограничена (минимум L(x, y) → −∞). Этот пример сви-

детельствует, что в случае неограниченного множества планов может обнаружиться неограниченность L(x, y) по максимуму, мини-

муму или по обоим критериям.

Итак, графическое решение двухмерной линейной программы может привести к следующим исходам:

♦обнаруживается оптимальный план (может быть, и не один);

♦обнаруживается отсутствие оптимального плана (ограниче-

ния задачи противоречивы или целевая функция не ограничена за

7

счет неограниченности множества планов).

Если у вас остались какие-то сомнения, обратитесь к приведенным ниже примерам (здесь мы вместо принятых в школьной математике обозначений х и у используем символику х1 и х2; надеемся, что эта замена не приведет вас в смущение).

Пример 1. Решим задачу максимизации

L(x) = 2x1 + 3x2

Решение. Находим множество допустимых решений (планов) задачи, т.е. множество точек (x1, x2), удовлетворяющих заданной системе ограничений (1)−(5), для чего строим полуплоскости, соответствующие ограничениям задачи, и определяем их общую область.

Берем первое из условий и строим прямую линию –x1 + 2x2 = 6. Для этого находим любые две ее точки, например, точки пересечения с координатными осями: при x1 = 0 x2 = 3 и при x2 = 0 x1 = –6, то

8

нат. Отображение второго ограничения абсолютно идентично.

Что касается полуплоскости третьего ограничения, то она располагается по отношению к граничной прямой по другую сторону, нежели начало координат.

Четвертое и пятое ограничения (x1 ≥ 0, x2 ≥ 0) соответствуют полуплоскостям, лежащим справа от оси ординат и над осью абсцисс

(первому квадранту плоскости).

В итоге получаем общую область для всех пяти полуплоскостей (множество планов) – выпуклый пятиугольник (рис. 8).

Теперь воспользуемся градиентом функции L(x) = 2x1 + 3x2. Здесь grad L(x) = (2, 3). Строим этот вектор на рисунке в отсчете от начала координат (или от любой точки плоскости, или от любой точки множества планов). Если точка экстремума не очевидна, возьмите «нить», перпендикулярную градиенту, и перемещайте над множеством планов в направлении градиента функции.

Обратите внимание на то, что во всех точках «нити» значение целевой функции одинаково (подобные «линии уровня» вы видите, например, на физических картах мира при изображении гор и глубин).

Нетрудно видеть, что точка последнего касания «нити» с множеством планов будет искомой точкой максимума функции L(x) (точка первого касания – точкой минимума). В нашем примере точкой максимума функции L(x) является точка С. Остается найти её координаты.

Поскольку она получается пересечением первой и второй прямых, то достаточно решить систему двух уравнений с двумя неизвестными

–x1 + 2x2 = 6 9x1 + 4x2 = 56.

Человек, знакомый с определителями и правилом Крамера, решает ее в виде:

уровня), легко видеть, что по максимуму L(x) не ограничена (L(Х)→ +∞), а минимум достигается в точке (0, 2) и равен L(0, 2) =– 2.

Решение. Строим область допустимых решений задачи (рис. 10). Поскольку второе ограничение представляет собой уравнение прямой