1 Элементы линейной алгебры
.pdf
Элементы линейной алгебры
Матрицы
Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов.
a11 |
a12 .... |
a1n |
|
|
|
|
|
a21 |
a22 .... |
a2n |
|
.... |
.... a |
..... |
|
|
ij |
|
|
|
am2 ..... |
|
|
am1 |
am n |
||
Числа aij – элементы матрицы:
i – номер строки j – номер столбца.
Обозначения матриц:
A, B, C … или (aij), (bij), (cij) ...
Виды матриц. Квадратная матрица (m=n)
a11 |
a12 |
.... |
a1n |
|
|
|
|
a21 |
a22 |
.... |
a2n |
A |
|
|
|
.... .... ..... ..... |
|||
|
|
|
|
|
an2 |
..... |
ann |
an1 |
|||
Виды матриц. Диагональная матрица
a
11
0 B 0
....
0
0 |
0 .... |
a22 |
0 .... |
0 |
a33 .... |
.... ..... ....
0 0 ....
0
0
0
....
ann
Виды матриц. Единичная и нулевая матрицы
Единичная
|
1 |
0 .... |
0 |
|
|
0 |
1 .... |
0 |
|
|
|
|||
E .... |
.... ..... |
..... |
||
|
|
|
|
|
|
0 |
0 ..... |
1 |
|
|
|
|||
Нулевая
|
0 |
.... |
0 |
|
|
|
|
|
|
0 .... |
.... |
.... |
||
|
0 |
.... |
0 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
Виды матриц. Ступенчатая матрица, матрица-столбец и матрица-строка
Ступенчатая
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
0 0 |
|
|
|
0 0 |
0 0 |
|
|
|
||
Матрица-столбец (m 1)
a |
1 |
|
|
|
|
|
|
a2 |
|
||
A |
.... |
||
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
am
Матрица-строка (1 n)
A a1 |
a2 .... an |
|
|
Равенство матриц
Две матрицы
A= (aij) и B=(bij)
называются равными, если
|
|
|
2) Соответствующие |
|
|
|
|
|
|
|
1) Размеры |
|
элементы матриц |
|
|
матриц |
|
равны: |
|
|
совпадают |
|
aij=bij, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1,m; j=1,n. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сумма матриц
Суммой матриц A=(aij) и B=(bij) одинакового размера m n называется матрица C=(cij) размера m n,
каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц A и B
cij aij bij , ( i 1, m ; j 1, n )
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример. |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
2 3 |
|
4 5 |
|
2 4 3 5 |
6 8 |
|
|
|
|||
|
A B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 0 |
|
|
2 3 |
|
|
|
|
1 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 0 3 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Разность матриц
Разностью матриц A=(aij) и B=(bij) одинакового размера m n называется матрица C=(cij) размера m n,
каждый элемент которой равен разности соответствующих элементов матриц A и B
cij aij bij , ( i 1, m ; j 1, n )
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2 |
3 |
|
4 5 |
|
2 4 3 5 |
|
2 2 |
|
|
|||
|
A B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
|
2 3 |
|
|
|
|
3 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 0 3 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Произведение матрицы на число
Произведением матрицы A=(aij) на число
называется матрица того же размера, элементы которой равны aij.
|
|
2 1 |
|
3 ; |
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
3 0 |
|
|
|
|
|
|
2 1 |
|
6 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|||
A 3 3 A 3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 0 |
|
|
9 |
0 |
|
|
|
|
|
|||