Рис. 2.5. Дважды статически неопределимая система

23

Однако решение уравнений статики и УСД относительно усилий Ni еще невозможно, так как в первые вошли усилия, а во вторые – абсолютные деформации i .

Необходимо теперь рассмотреть физическую сторону задачи, в которой к решению привлекаются физические законы – законы Гука в

Остается определить усилие Ni из полученной системы линейных уравнений. После определения Ni говорят, что статическая неопределимость системы раскрыта и можно решать основные задачи сопротивления материалов. Статически неопределимые системы имеют ряд особенностей, которые не свойственны статически определимым системам.

Первая особенность состоит в том, что распределение усилий в стержнях зависит от соотношения жесткостей их поперечных сечений ЕiFi . Поэтому для выполнения расчетов надо задать значения этих ве-

личин или их соотношение. Такая особенность приводит к тому, что при подборе сечения трудно обеспечить оптимальность конструкции. Обычно в одних элементах системы несущая способность материала используется полностью (расчетные напряжения в этих элементах равны допускаемым ), а в некоторых элементах материал недогружен.

Вторая особенность статически неопределимых систем состоит в том, что заданные деформации элементов, такие как неточность изготовления или температурные деформации, могут вызвать дополнительные напряжения. Это происходит в тех случаях, когда заданные деформации являются несовместными и не удовлетворяют УСД. Напряжения, возникающие из-за неточности изготовления, называют монтажными, а от изменения температуры – температурными.

Если первая особенность оказывает отрицательное влияние на работоспособность конструкции, то вторая может быть как отрицательной, так и положительной. Положительную роль монтажные напряжения играют, если они заранее предусмотрены. Это делается при создании предварительно напряженных конструкций. За счет монтажных напряжений могут быть, например, уменьшены или полностью компенсированы температурные напряжения.

24

Особенности расчетов статически неопределимых систем показаны ниже при решении трех примеров.

А. Расчет статически неопределимой шарнирностержневой системы при действии внешней нагрузки

Пример 2.3.

На рис. 2.6, а изображена шарнирно-стержневая система, имею-

щая одну «лишнюю» связь. Заданы нагрузки P = 20 кН, q = 10 кН/м; соотношение площадей поперечных сечений стержней F1/F2 = 1,5; мо-

дули упругости материалов стержней E1 = 1·105 МПа, E2 = 2×105 МПа; длины стержней 1 = 1,5 м, 2 = 1,0 м; допускаемые напряжения

[s]1− = 42 МПа, [s]−2 = 120 МПа.

Требуется определить площади поперечных сечений F1 и F2, напряжения в стержнях σ1p ,σ2p – от нагрузки.

1. Статическая сторона задачи Строим план сил (рис. 2.6, б) и составляем уравнения равновесия

å x = 0, å y = 0, å mА = 0. Очевидно, что в первые два уравнения вой-

дут XA, УA, которые не используются в последующих расчетах, поэтому эти уравнения отбрасываются, третье уравнение после подстановки числовых значений нагрузок принимает вид

В уравнение (2.8) вошли две неизвестные реакции N1 и N2, для их определения нужно составить еще одно уравнение, которое получим из рассмотрения геометрической стороны задачи.

2. Геометрическая сторона задачи Построение плана перемещений начинаем с изображения переме-

щения основного тела АВДК. Очевидно, брус АВДК опустится вниз, повернувшись вокруг опорного шарнира А, и займет положение АВ1Д1К1. Здесь положение т. В1 устанавливается точно так же, как и т. К1 на рис. 2.4. После этого через точки А и В1 проводят прямую, пересечения которой с перпендикулярами к линии АВДК из точек Д и К

определяют точки Д1 и К1. Очевидно, ДД1=D 2. Из подобия DАВВ1 и DАДД1 следует: