2. Ускорение точки.

Перейдем к решению второй основной задачи кинематики точки - определению скорости и ускорения по уже заданному векторным, координатным или естественным способом движению.

1. Скоростью точки называется векторная величина, характеризующая быстроту и направление перемещения точки. В системе СИ скорость измеряется в м/с.

a) Определение скорости при векторном способе задания движения.

Пусть движение точки задано векторным способом, т.е. известно векторное уравнение (2.1): .

Рис. 2.6. К определению скорости точки

Пусть за время t радиус-вектор точкиМ изменится на величину . Тогда средней скоростью точкиМ за время t называется векторная величина

.

Мгновенной скоростью (или далее - просто скоростью) называется предел приt стремящемся к нулю, т.е.

. (2.4)

Вспоминая определение производной, заключаем:

. (2.5)

Здесь и в дальнейшем знаком будем обозначать дифференцирование по времени. При стремленииt к нулю вектор , а, следовательно, и вектор, поворачиваются вокруг точкиМ и в пределе совпадают с касательной к траектории в этой точке. Таким образом, вектор скорости равен первой производной от радиус-вектора по времени и всегда направлен по касательной к траектории движения точки.

б) Скорость точки при координатном способе задания движения.

Выведем формулы для определения скорости при координатном способе задания движения. В соответствии с выражением (2.5), имеем:

.

Так как производные от постоянных по величине и направлению единичных векторов равны нулю, получаем

. (2.6)

Вектор , как и любой вектор, может быть выражен через свои проекции:

(2.7)

Сравнивая выражения (2.6) и (2.7) видим, что производные координат по времени имеют вполне определенный геометрический смысл - они являются проекциями вектора скорости на координатные оси. Зная проекции, легко вычислить модуль и направление вектора скорости (рис. 2.7):

или , (2.8)

, ,. (2.9)

Рис. 2.7.К определению величины и направления скорости

в) Определение скорости при естественном способе задания движения.

Рис. 2.8. Cкорость точки при естественном способе задания движения

Согласно (2.4) ,

где - единичный вектор касательной. Таким образом,

, (2.10)

Величина V=dS/dt называется алгебраической скоростью. Если dS/dt>0, то функция S = S(t) возрастает и точка движется в сторону увеличения дуговой координаты S, т.е. точка движется в положительном направлении Если же dS/dt<0, то точка движется в противоположном направлении.

2. Ускорение точки

Ускорением называется векторная величина, характеризующая быстроту изменения модуля и направления вектора скорости. В системе СИ ускорение измеряется в м/с².

a) Определение ускорения при векторном способе задания движения.

Пусть точка М в момент времени t находится в положении М(t) и имеет скорость V(t), а в момент времени t + t находится в положении М(t + t) и имеет скорость V(t + t) (см. рис. 2.9).

Рис. 2.9. Ускорения точки при векторном способе задания движения

Средним ускорением за промежуток времениt называется отношение изменения скорости кt , т.е.

.

Предел приt  0 называется мгновенным (или просто ускорением) точки М в момент времени t

. (2.11)

Согласно (2.11), ускорение при векторном способе задания движения равно векторной производной от скорости по времени.

б). Ускорения при координатном способе задания движения.

Подставляя (2.6) в (2.11) и дифференцируя произведения в скобках, находим:

.

Учитывая, что производные от единичных векторов равны нулю, получаем:

. (2.12)

Вектор может быть выражен через свои проекции:

. (2.13)

Сравнение (2.12) и (2.13) показывает, что вторые производные от координат по времени имеют вполне определенный геометрический смысл: они равны проекциям полного ускорения на координатные оси, т.e.

, , .

Зная проекции, легко вычислить модуль полного ускорения и направляющие косинусы, определяющие его направление:

, ,,. (2.14)

в). Ускорение точки при естественном способе задания движения

Приведем некоторые сведения из дифференциальной геометрии, необходимые для определения ускорения при естественном способе задания движения.

Пусть точка М движется по некоторой пространственной кривой. С каждой точкой этой кривой связаны три взаимно ортогональные направления (касательная, нормаль и бинормаль), однозначно характеризующие пространственную ориентацию бесконечно малого элемента кривой вблизи данной точки. Ниже приводится описание процесса определения указанных направлений.

Для того чтобы провести касательную к кривой в точке М , проведем через нее и близлежащую точку М₁ секущую ММ₁.

Рис. 2.10. Определение касательной к траектории движения точки

Касательная к кривой в точке М определяется как предельное положение секущей ММ₁ при стремлении точки М₁ к точке М (рис. 2.10). Единичный вектор касательной принято обозначать греческой буквой .

Проведем единичные векторы касательных к траектории в точках М и М₁. Перенесем вектор в точкуМ (рис. 2.11) и образуем плоскость, проходящую через эту точку и векторы и. Повторяя процесс образования аналогичных плоскостей при стремлении точкиМ₁ к точке М, мы получаем в пределе плоскость, называемую соприкасающейся плоскостью.

Рис. 2.11. Определение соприкасающейся плоскости

Очевидно, что для плоской кривой соприкасающаяся плоскость совпадает с плоскостью, в которой лежит сама эта кривая. Плоскость, проходящая через точку М и перпендикулярная касательной в этой точке, называется нормальной плоскостью. Пересечение соприкасающейся и нормальной плоскостей образует прямую, называемую главной нормалью (рис. 2.12).

Рис. 2.12. Естественный трехгранник

Единичный вектор, направленный вдоль главной нормали внутрь траектории, обозначим буквой . Единичный вектор, ортогональный соприкасающейся плоскости и направленный в ту сторону, откуда поворот от‚ к виден происходящим против хода часовой стрелки, определяет направление бинормали . Плоскость, образуемая векторамии, называетсяспрямляющей плоскостью.

Система координат, образуемая тремя взаимно ортогональными осями- касательной, нормалью и бинормалью, называется естественной системой координат. Трехгранник, образуемый соприкасающейся, нормальной и спрямляющей плоскостями называется естественным или подвижным трехгранником. Перемещаясь вместе с движущейся точкой М, оси этого подвижного трехгранника меняют свою ориентацию в пространстве, оставаясь взаимно ортогональными.

Пример. Движение точки М задано уравнениями

, ,

где k - постоянная.

Определить модули скорости и ускорения как функции времени.

Решение: Дважды дифференцируя уравнения движения по времени, получаем

,

,

,

.

Подставляя найденные значения производных в формулы (8) и (14), получаем:

, .

Лекция 12

Вопросы