2 Классификация поверхностей

В зависимости от формы образующейповерхности делятся налинейчатые(образующая – прямая линия) инелинейчатые(образующая – кривая линия).

По закону движения образующих: с вращатель­ным движением –поверхности враще­ния, с винтовым движением –винто­вые поверхности,поверхности с плоскостью параллелилизма– множество образующих, параллельных некоторой плоскости и пересекающих две направляющие (цилиндроид, коноид, гиперболический параболоид), циклические поверхности – движение окружности постоянного или переменного радиуса.

По признаку развертывания по­верхности могут быть развертывае­мыми, которые можно развернуть на плоскости без разрывов и складок и неразвертываемыми.

По признаку направляющих, кото­рые могут быть ломаными, прямыми или кривыми, поверхности могут быть гранными или кривыми.

Часть пространства, ограниченная со всех сторон поверхностью, называ­ется телом.

Рассмотрим две группы тел: много­гранники и тела вращения.

Много­гранник– тело, ограниченное плоскими многоуголь­никами (гранями), которые пересекаются по прямым (ребрам).

Многогранник, двеграни которого равны и параллельны (конгруэнтны), а ос­тальные пересекаются по параллель­ным прямым, называется призмой (рис. 71).

Многогранник, одна грань кото­рого – многоугольник (основание), а остальные грани треугольники с общей вершиной, называется пирамидой (рис. 72).

Из числа многогранников выделяют группу правильных многогранников. Одно из древнейших упоминаний о правильных многогранниках находится в трактате Платона (427-347 до н. э.) "Тимаус". Поэтому правильные многогранники также называются платоновыми телами (хотя известны они были задолго до Платона). Каждый из правильных многогранников, а всего их пять, Платон ассоциировал с четырьмя "земными" элементами: огонь – тетраэдр (4 грани, рис. 73),

земля – гексаэдр (6 граней, рис. 74) – куб,

воздух – октаэдр (8 граней, рис. 75),

вода – икосаэдр (20 граней, рис. 77),

а также с "неземным" элементом – небом – додекаэдр (12 граней,  рис. 76).

Все грани правильного многогранника – равные между собой правильные многоугольники и в каждой его вершине сходится одно и то же число граней, а многогранные углы при вершинах – выпуклые. У таких многогранников число граней (Г), вершин (В) и ребер (Р) находится в определенной зависимости: Г + В – Р = 2 (формула Эйлера).

Особенностью таких поверхностей является то, что можно вписать сферу в любой правильный многогранник и описать сферу около любого правильного многогранника.

Рис. 73 Рис. 74 Рис. 75 Рис. 76 Рис. 77

Кроме правильных выпуклых многогранников существуют и правильные выпукло-вогнутые многогранники. Их называют звездчатыми (самопересекающимися). Рассматривая пересечения продолжения граней Платоновых тел, мы будем получать звездчатые многогранники.

Звездчатый октаэдр является объединением двух пересекающихся правильных тетраэдров, и для его изготовления требуются лишь одинаковые равносторонние треугольники. Октаэдр имеет только одну звездчатую форму. Такой звездчатый многогранник в 1619 году описал Кеплер (1571-1630) и назвал его stella octangula – восьмиугольная звезда.

Малый звездчатый додекаэдр – двенадцать правильных пятиугольных пирамид, основания которых совпадают с гранями додекаэдра.

Большой икосаэдр – самый красивый и де-коративный из правильных звёздчатых многогранников Кеплера-Пуансо. Его вершины представляют собой центры правильных пятиугольных звёзд, выступающих из тела многогранника.