Министерство образования и науки Российской Федерации
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
"Кузбасский государственный технический университет"
Кафедра информационных и автоматизированных
производственных систем
Анализ систем автоматического управления с запаздыванием
Методические указания к лабораторной работе по дисциплине "Теория автоматического управления" для студентов специальности 230201 "Информационные системы и технологии"
Составители Г. А. Алексеева
И. В. Чичерин
Утверждены на заседании кафедры
Протокол № 5 от 02.02.2011
Рекомендованы к печати
учебно-методической комиссией
специальности 230201
Протокол № 279 от 11.03.2011
Электронная копия находится
в библиотеке ГУ КузГТУ
Кемерово 2011
1 Цель работы
Цель работы – изучение особенностей математического описания и анализа систем автоматического управления (регулирования) с запаздыванием и приобретение практических навыков в исследовании устойчивости и оценке качества систем автоматического регулирования (САР) с запаздыванием.
2 Основные теоретические положения
Система автоматического управления (САУ) с запаздыванием – это система, в которой имеется звено, обладающее тем свойством, что реакция на его выходе отстает по времени на некоторую величину , называемую временем чистого запаздывания. Это звено называется звеном чистого запаздывания, описываемого во временной области уравнением
, (1)
а в частотной области передаточной функцией (ПФ):
. (2)
В
работе рассматриваются САР с запаздыванием,
в которых звено чистого запаздывания
находится в прямой цепи системы и не
охвачено местной обратной связью.
Структурная схема такой САР приведена
на рис. 1, где
– ПФ разомкнутой части САР без учета
запаздывания,
Рисунок 1 – Структурная схема САР с запаздыванием
имеющая вид
, (3)
где А(р), В(р) – полиномы от параметра р. ПФ разомкнутой части САР с учетом запаздывания имеет вид
, (4)
а ПФ САР с запаздыванием:
. (5)
Характеристическое уравнение САР с запаздыванием имеет вид
(6)
и
характеризуется тем, что в него входит
иррациональный оператор
.
ПФ САР с запаздыванием (5) не является дробно-рациональной, что затрудняет анализ таких систем стандартными методами теории автоматического управления (ТАУ).
Из-за наличия запаздывания рассматриваемые САР описываются не дифференциальными уравнениями, а уравнениями с запаздывающим аргументом. Например, апериодическое звено первого порядка с запаздыванием вместо уравнения
описывается уравнением
.
Анализ САР с запаздыванием предполагает решение тех же задач, что и САР без запаздывания, а именно:
исследование устойчивости;
оценка качества регулирования. Дополнительно имеет место задача нахождения критического времени чистого запаздывания.
2.1 Анализ устойчивости сар с запаздыванием
Так как характеристическое уравнение САР с запаздыванием (6) является трансцендентным, то применение алгебраических критериев является достаточно сложным. Поэтому для анализа САР с запаздыванием в работе используются частотные критерии Михайлова и Найквиста.
2.1.1 Критерий Михайлова
Характеристический полином для САР с запаздыванием определяется выражением
. (7)
Заменив p на j, получим
. (8)
Выделив вещественную и мнимую части выражения (8), можно записать:
. (9)
Каждая часть выражения (9) содержит колебательные по характеру составляющие, что отражается на форме годографа Михайлова.
Для устойчивости САР с запаздыванием по критерию Михайлова необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова при изменении частоты от 0 до + повернулся в положительном направлении (против часовой стрелки), начиная с вещественной положительной полуоси, на число квадрантов, равное порядку характеристического уравнения, то есть на угол n/2, при этом нигде не обращаясь в нуль. Годограф Михайлова для устойчивой САР с запаздыванием при n = 4 приведен на рисунке 2.
Рисунок 2 – Годограф Михайлова