Молек / 24

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 24

ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАДИУСА КАПИЛЛЯРА

Принадлежности: прибор, капилляр, линейка, секундомер, ёмкость с водой.

Общие указания

При установившемся ламинарном (слоистом) течении жидкости в трубке скорости разных слоёв распределены так, как показано на рисунке 1 (справа).

Д лина стрелок характеризует величину скорости. Наибольшая скорость наблюдается на оси трубки. По мере приближения к стенкам скорость уменьшается, а слой, прилегающий к стенкам, покоится. При таком течении происходит перенос импульса упорядоченного движения молекулами от центрального слоя жидкости, где скорость наибольшая, к слоям, движущимся с меньшей скоростью. Как показывается в гидродинамике, зависимость скорости слоя в зависимости от радиуса определяется формулой:

(1)

т.е. изменяется по параболическому закону (на рис.1 показано справа). В формуле (1) p₁, р₂ – давление на концах трубки, ℓ – её длина, η – коэффициент динамической вязкости, который для большинства жидкостей зависит от температуры Т по формуле Андраде:

(2)

А(Т) – коэффициент, зависящий от рода жидкости, и, по сравнению со вторым сомножителем, слабо влияет на величину η, ω – энергия активации, т.е. энергия, необходимая для скачка молекулы, уменьшающаяся с ростом температуры.

При переносе импульса от слоя к слою происходит изменение импульса этих слоёв, а это равносильно тому, что на каждый из слоёв действует сила вязкости, равная изменению импульса в единицу времени. То есть любой слой жидкости, движущийся относительно соседнего, испытывает действие некоторой силы внутреннего трения или вязкости (на рис.1 слева). Величина этой силы определяется законом Ньютона:

(3)

где S – площадь трущихся слоёв, – градиент скорости в направлении перпендикулярном движению жидкости.

Или, так как dk = F dt , сила вязкого трения:

(4)

k – импульс упорядоченного движения молекул.

Коэффициент вязкости численно равен силе трения, действующей на слой в единичной площади при градиенте скорости равном единице. В системе СГС коэффициент вязкости имеет размерность г/(см ·с). Эта единица называется Пуазом (Пз). В СИ единица вязкости определяется как коэффициент вязкости такой жидкости, в которой при градиенте скорости 1 с^–1 на площадку в 1 м² действует сила, равная 1 Н, т.е. 1 кг/(м·с) или Па·с.

Внутреннее трение (вязкость) является причиной того, что для протекания жидкости через трубку требуется некоторое давление, разность давлений должна быть тем больше, чем больше вязкость жидкости.

Используя формулу (1), найдём поток жидкости q, т.е. объём её в единицу времени, протекающей через трубку. Объём жидкости, протекающей через кольцо радиуса r и r+dr в единицу времени:

(5)

Интегрируя (5) по r от 0 до R, получим выражения для потока жидкости через всё сечение трубки:

(6)

За время t через трубку протечёт, очевидно, объём жидкости:

(7)

Эта формула называется формулой Пуазейля.

Пользуясь формулой (7), следует помнить, что течение жидкости должно быть ламинарным, т.е. скорость движения жидкости в направлении перпендикулярном оси, во всех точках должна быть равна нулю. Это значит, что слои жидкости должны течь, хотя и с разными скоростями, но параллельно друг другу. Для вихревого или турбулентного течения формула Пуазейля непригодна.

Из механики газов и жидкостей известно, что переход от ламинарного к турбулентному движению происходит хотя и не скачком, но при вполне определённых условиях, связанных со свойствами газа (жидкости) с размерами трубы и скоростью движения. Так, для течения в цилиндрической трубе переход к турбулентному движению происходит, когда безмерная величина

(8)

становится больше некоторого критического значения, порядка 1000. В формуле (8): ρ – плотность газа (жидкости), υ^* – средняя скорость течения, R – эффективный размер тела, η – вязкость газа (жидкости). Называется эта величина числом Рейнольдса (Re).

В данной работе формула Пуазейля используется для определённого радиуса капилляра. Из формулы (7) имеем:

. (9)

Отсюда следует, что для вычисления R необходимо измерить ℓ – полную длину капилляра, υ₀ – объём жидкости, протекающий за единицу времени через капилляр и Δр – разность давлений на концах капилляра.

ОПИСАНИЕ ПРИБОРА

Прибор, используемый в работе, называется капиллярным вискозиметром. Он смонтирован на стойке, которую с помощью установочных винтов можно установить строго по отвесу и уровню, на котором имеются пазы для сменных капилляров. На стойке закреплён мерный сосуд, по шкале которого определяют объём V жидкости, протекающей через капилляр за время t. Очевидно, что при равномерном течении жидкости.

Рядом с мерной трубкой закреплена линейка, по которой можно определить высоту столба жидкости. Зная высоту столба жидкости, легко определить создаваемое им гидростатическое давление. В процессе опыта высота столба жидкости меняется, т.е. изменяется и Δp = р₁ – р₂. Считая, что Δp изменяется равномерно, для расчёта можно использовать среднее арифметическое значение Δp_ср, которое, очевидно, равно

(10)

где h₁ и h₂ – высота столбов жидкости в сосуде, до опыта и после него. При расчёте радиуса капилляра по формуле (9) следует учитывать зависимость коэффициента вязкости от температуры. Таблица зависимости коэффициента вязкости от температуры дана в конце описания лабораторной работы.

Измерения

1. Установить прибор по уровню и отвесу. Измерить длину капилляров с точностью до 1 мм.

2. Налить воду в мерный сосуд и заполнить подсоединённый капилляр водой.

3. Измерив четыре раза V, t, h₁, h₂, вычислить среднее значение радиуса капилляра.

4. Вычислить максимальную относительную ошибку, а для одного из опытов – число Рейнольдса.

5. Данные занести в таблицу.

№	L, см	V, см3	t, с	h1, см	h2, см	Δp, г/см·с2	R, см	εmax, %
1
. . .	. . .	. . .	. . .	. . .	. . .	. . .	. . .
4
Сред.

Таблица – Коэффициенты внутреннего трения воды при разных температурах
t, (°C)	η,	t, (°C)	η,
0	1797	19	1029
5	1518	20	1004
10	1307	21	980
15	1140	22	957
16	1110	23	936
17	1082	24	915
18	1055	30	803

Контрольные вопросы

1. Каков физический смысл числа Рейнольдса? (см. литературу [5])

2. Напишите формулу Пуазейля. Каков её физический смысл?

3. Напишите формулу Андраде. Какую физическую величину она описывает?

4. Объясните физический смысл понятий: ламинарное и турбулентное течение жидкостей (газов).

5. В чем измеряется величина, определяемая формулой (7)?

Литература

1. Кикоин И.К., Кикоин А.К. Молекулярная физика. 1976, § 48 – 49, § 97.

2. Савельев И.В. Курс общей физики. Т. 1, 1970, §§ 58 – 59.

3. Савельев И.В. Курс физики. Т. 1, 1989, § 42.

4. Зисман Г.А. Курс общей физики. 1964 г., § 45.

5. Сивухин Д.В. Курс общей физики. Т. 1. Механика, § 98.

5