ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 25

Проверка закона распределения гаусса

Цель работы – проверка распределения Гаусса (нормального распределения случайных величин).

Распределение Гаусса описывает разброс значений случайной величины.

ОБЩИЕ УКАЗАНИЯ

Если повторять измерение некоторой случайной величины многократно, обнаруживается, что в силу разнообразных внешних причин результаты опытов точно не воспроизводятся.

Например, стрелок делает пробоины, смещенные от центра мишени в результате ошибок в прицеливании, изменении освещения, ветра, разницы навесок пороха. При этом до выстрела невозможно предсказать величину и направление отклонения пробоины, оно случайно. Однако при рассматривании мишени после серии выстрелов обнаруживается некоторая закономерность в расположении пробоин. Если стрелок не делает систематических, повторяющихся ошибок, картина распределения пробоин одинакова во всех направлениях.

Еще пример: измеряется рост студентов первого курса. Естественно, он оказывается у всех различным, но колеблющимся около некоторого значения, 175 см. Люди с ростом близким к этому среднему (наивероятнейшему) встречаются довольно часто (вероятность таких встреч велика). Рост, сильно отличающийся от среднего: меньше 160 см или больше 200 см – редкость, вероятность такого мала.

Третий пример: измеряется время падения дробинок в вязкой среде. Они могут различаться массой, формой, вязкость жидкости может изменяться в результате колебаний температуры в помещении, могут изменяться моменты пуска и остановки секундомера. В результате значения времени при повторении измерений оказываются различными, но близкими друг к другу и к среднему значению. Чем ближе результат измерения к среднему, тем больше вероятность его появления.

Для наглядного представления распределения значений случайной величины можно построить диаграмму, называемую гистограммой. Для этого весь диапазон измеренных значений разбивают на равные интервалы и подсчитывают, сколько раз измеренная величина попадает в каждый из них. Ширина интервалов может быть произвольной. Для примера в таблице 1 приведены некоторые данные, а на рисунке 1 изображена соответствующая гистограмма. На гистограмме по вертикальной оси отложено число случаев n попадания в интервал L.

Таблица 1. Результаты гипотетических измерений

Интервал, мм (L = 0,2 мм)	9,9 –10,1	10,1 –10,3	10,3 –10,5	10,5 –10,7	10,7 –10,9	10,9 –10,11	11,1 –11,3
Число случаев, когда отсчет попадает в интервал	1	3	7	9	5	4	2

Если продолжать измерения до тех пор, пока число измеренных значений не станет очень большим (порядка сотен), а ширину интервалов сделать очень малой (насколько позволяет чувствительность измерительного прибора), гистограмму можно будет заменить плавным графиком – кривой распределения. На вертикальной оси можно откладывать не само число измерений в интервале ∆L, а значения функции φ(L), смысл которой состоит в том, что произведение ее на ширину интервала ∆L дает долю числа отсчетов, приходящуюся на этот интервал значений, т.е. вероятность того, что отдельное случайно выбранное значение измеряемой величины окажется в интервале от L до L+ ∆L.

Функция φ(L), таким образом, определяет плотность вероятности, т.е. отношение вероятности значения измеряемой величины в бесконечно малом интервале к ширине этого интервала:

Кривая нормального распределения изображена на рисунке 2,а. Кривую распределения можно строить и в координатах X, F(x), где Х – отклонение случайного результата измерения от среднего из многих измерений, а F(x) – функция распределения, или плотность вероятности случайной величины, выражающая вероятность того, что отклонение случайно выбранного измерения от среднего значения попадает в интервал (Х, Х+dХ) (рисунок 2,б). Аналитическое выражение этой функции получено Карлом Фридрихом Гауссом (1777 – 1855 гг.) из следующих соображений.

1. При повторных измерениях результаты, отличающиеся от наивероятнейшего в сторону завышения и занижения на одну и ту же величину, встречаются одинаково часто. Получается, что знак отклонения не влияет на вероятность появления наивероятнейшего результата, следовательно, плотность вероятности должна быть представлена функцией квадрата отклонения:

2. Отклонения большие по абсолютной величине встречаются реже, т.е. плотность вероятности – убывающая функция отклонения. Плотность вероятности выражается функцией:

(1)

Постоянный параметр h в формуле (1) зависит от воспроизводимости результатов измерений: чем ближе к наивероятнейшему результаты повторных опытов, тем больше h. Этот параметр называют мерой точности. Кривые нормального распределения при различных значениях h показаны на рисунке 3.