Глава1. Системы линейных алгебраических уравнений (слау)

Постановка задачи

Рассмотрим пространство Rⁿ. Точки в нем имеют видx=(x₁..x_n)^T.

Рассмотрим следующую СЛАУ:

(1)

где A=(a_ij) – вещественная квадратная матица порядкаn.

Будем считать, что матрица Aи вектор-столбецbизвестны. Необходимо найти вектор-столбецx.

Перепишем СЛАУ в виде:

(1’)

Из (1’) следует: система (1) либо однозначно разрешима (если столбцы матрицы А линейно независимы), либо не имеет решения или их ∞ много (если столбцы линейно зависимы).

Это формулируется альтернативой Фредгольма: система (1) либо разрешима единственным образом, либо соответствующая однородная система имеет нетривиальное решение.

§1. Прямые методы

1.Метод Гаусса (исключения неизвестных)

Рассмотрим систему (1). Будем считать, что a₁₁≠0 (иначе переномеруем строки).

Прямой ход:

I этап (n-1 шаг)

1)Умножим 1ую строку на и вычтем ее из 2ой.

2) Умножим 1ую строку на и вычтем ее из 3ей. И т.д.

II этап (n-2 шага)

Рассмотрим систему:

И т.д.

Окончательно получим треугольную систему:

Обратный ход:

1-ый шаг: - 1 деление

2-ой шаг: - 1 деление, 1 умножение

……………………………………..

n-ый шаг:

Количество вычислений

Будем считать число арифметических операций, на которые затрачивается бОльшее число времени – умножения и деления.

Прямой ход:

1 этап Σ₁=(1 деление +nумножений)(n-1)=(n+1)(n-1)=n²-1

2 этап Σ₂=(1 деление +n-1 умножение)(n-2)=n(n-2)=n²-2n=(n-1)²-1

………………………………………………………………….

n-1 этап Σ_n-1=2²-1

Таким образом,

Обратный ход:

Отсюда общее количество операций

Замечание: метод Гаусса плохо решает СЛАУ уже при порядке 100. Можно улучшить его, лишь увеличив порядок мантиссы.

2.Метод прогонки

Пусть дана трехдиагональная система:

Представим ее в следующем виде:

Метод Гаусса приведет такую систему к 2ух диагональной матрице, что нерационально! Найдем другой метод решения.

Запишем (k-1)ое уравнение системы в виде:

x_k-1 -P_kx_k =L_k, гдеP_k и L_kизвестны,x_k– диагональный элемент,k=2..n+1.

Подставим его в k-ое уравнение:

a_k(P_kx_k +L_k) +b_kx_k +c_kx_k+1 =f_k

Тогда

→

→ ; (2)

Вычислим младшие коэффициенты:

из 1ого уравнения: b₁x₁ +c₁x₂=f₁

т.е. x₁ -P₂x₂=L₂

По реккурентным формулам (2) вычислим P₃,L₃…P_n+1,L_n+1.

Количество вычислений:

для P_k: 1 деление + 1 умножение

для L_k: 1 деление + 1 умножение

для x_k: 1 умножение

Всего неизвестных: P₂ ,L₂…P_n+1 ,L_n+1,x₁…x_n.

→ Σ=4^.n+n=5^.n

Достаточное условие разрешимости

Заметим, что метод прогонки, как и метод Гаусса не пригоден для вырожденных систем.

ЛеммаЕслиdetA=0, то

Доказательство

Если detA=0, то^T.

Пусть x_k–maxпо модулю эл-т: |x_k| ≥ |x_i|

Расс-м k-ую строку системы Ах=0:

Что и требовалось доказать.

СледствиеЕсли |b_k| > |a_k| + |c_k| (преобладание главной диагонали), то трехдиагональная матрица невырождена.

3.Вычисление определителя и обратной матрицы

1)Дана матрицаA= (a_ij). Будем считать, чтоdetA≠0, матрица Γ приводит матрицуAк треугольному виду, причем эти преобразования не меняют определителя матрицыA:

Тогда .

2)Дана матрицаA= (a_ij) и обратная к нейA^-1, т.е.AA^-1=E.

Обозначим.

Тогда в матричном виде возможно равенство столбцов:

, где «1» стоит наjой позиции.

Т.о. получена система для вычисления jого столбца обратной матрицы.

Обозначим количество вычислений как Σ. Получим, что необходимо решить nсистем, в каждой из которыхвычислений.

Тогда - количество вычислений велико!