Квантовый гармонический осциллятор (1)
Уравнение Шредингера для линейного гармонического осциллятора имеет вид
|
2 |
|
d 2 |
|
m 2 x2 |
E (1) |
||||
2m dx2 |
|
|||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
||||
Введем безразмерные переменные |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
m |
x, |
2E |
(2) |
|||||
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Уравнение (1) примет вид
d 2 2 (3) d 2
Случай Решение, удовлетворяющее условию ( ) 0 при
A me 2 
2 (4)
m - любое конечное число
Будем искать решение уравнения (3) в виде
f e 2 
2 (5)
где f - функция, которая ведет себя на бесконечности как m Подставляя (5) в соотношение (3) получим уравнение для f
d 2 f |
2 |
df |
( 1) f |
0 (6) |
|
d 2 |
d |
||||
|
|
|
Квантовый гармонический осциллятор (2)
Решение уравнения (6) ищем в виде
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f ( ) ak m (7) |
|
|||||
Производные |
|
|
|
|
k 0 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
df ( ) |
kak k 1 |
, |
d 2 |
f ( ) |
k(k 1)ak k 1 |
(8) |
||
|
d |
2 |
d |
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
Подставляя (8) в (6) получим
k(k 1)ak k 2 2 kak k 1 ( 1) ak k 0 (9)
Реккурентная формула для коэффициента k имеет вид
a |
|
2k 1 |
a |
|
(10) |
(k 2)(k 1) |
|
||||
k 2 |
|
|
k |
|
Для того чтобы решение при 0 было конечным и стремилось к (5) необходимо
чтобы ряд (7) обрывался на каком-то члене, т.е., начиная с какого-то числа n, это условие будет выполнено, если
2n 1 0 (11)
где n – целое число
Квантовый гармонический осциллятор (3)
Подставляя (11) в соотношение (2), получим
|
1 |
|
|
|
En n |
|
|
(12) |
|
2 |
||||
|
|
|
Энергия осциллятора может принимать только дискретные значения. Волновая функция, соответствующая n-возбужденному состоянию
n ( ) 4 |
m |
1 |
e 2 2 fn ( ) |
|
|
|
n!n2 |
||
|
|
|
||
где fn ( ) - полином Чебышева-Эрмита
fn ( ) Hn ( ) ( 1)n e 2 d ne n 2 d
H0 ( ) 1
H1 ( ) 2
H2 ( ) 4 2 2
H3 ( ) 8 3 12
H4 ( ) 16 4 48 2 12