Выводы
1. Частица в бесконечной прямоугольной яме
En 2 2n2 , n 1, 2, 3, ...
2mL2
2. Минимальная энергия любой частицы в потенциальной яме не может быть равна нулю.
n |
|
2 |
sin |
nx |
, |
n 1, 2, 3, ... |
|
L |
L |
||||||
|
|
|
|
|
3. Уравнение Шредингера
ˆ i t H
ˆ - оператор полной энергии
H
4.Стационарное уравнение Шредингера
2 d 2 U (x) (x) E (x) 2m dx2
5.Квантовый гармонический осциллятор
|
1 |
|
|
|
|
En n |
|
|
, |
n 0,1, 2, ... |
|
2 |
|||||
|
|
|
|
||
|
n |
|
|||
6. |
Бесспиновая частица в поле с центральной симметрией |
|
||||
|
(r, , ) Rnl (r)Ylm ( , ) |
|
||||
|
En |
|
|
|
n 1, 2, 3,... |
|
|
lZ |
0, 1, 2, ..., l, |
l 1, 2, 3,... |
|||
7. |
Орбитальный момент количества движения |
|
|
|||
|
ˆ2 |
2 |
l(l |
1)Ylm |
( , ), |
l 0,1, 2, ... |
|
L Ylm |
( , ) |
||||
8. |
|
Lz m, |
|
m 0,1, 2, ... |
||
Полный момент количества движения J L S |
|
|
||||
JZ J , J 1, ..., (0,1/ 2)
|
Стационарное уравнение Шредингера |
|
||||||||||||||||||
В случае одного пространственного измерения уравнение Шредингера имеет вид |
|
|||||||||||||||||||
|
i (x,t) |
|
|
2 |
|
2 |
V (x,t) (x,t) |
(1) |
||||||||||||
2m x2 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
||||||||||||
В случае, если потенциальная энергия V (x,t) не зависит от времени V (x,t) V (x) , пространственная и |
||||||||||||||||||||
временная зависимости могут быть разделены. Представим функцию (x,t) в виде |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
(x,t) (x) (t) . |
(2) |
||||||||||||||
Подставив соотношение (2) в уравнение (1), получим |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
i |
(x) (t) |
|
2 |
|
|
|
2 (x) (t) |
V (x) (x) (t). |
(3) |
|||||||||||
|
|
|
|
2m |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
t |
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
||||||||
Разделив уравнение (3) на (x,t) (x) (t) |
и перейдя от частных производных к обычным производным, |
|||||||||||||||||||
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
i |
1 d (t) |
|
|
|
2 |
1 |
|
d 2 (x) V (x) |
(4) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
(t) dt |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2m (x) dx2 |
|
||||||||||||
Левая и правая части уравнения (4) зависят только от одной переменной x или t . Т.е. изменение t |
в левой |
|||||||||||||||||||
части уравнения не влияет на правую часть уравнения, а изменение x в правой части уравнения не влияет на левую часть уравнения. Следовательно, обе части уравнения должны равняться одной и той же постоянной С.
Таким образом, уравнение (3), являющееся уравнением в частных производных, можно заменить на
два уравнения, каждое из которых зависит только от одной переменной x или t . |
|
||||||||||
|
|
|
i |
1 |
|
|
d |
C |
(5) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
(t) dt |
|
||||||
|
2 |
1 |
|
d 2 |
V (x) C |
(6) |
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2m (x) dx2 |
|
|||||||||
Постоянная С называется постоянной разделения переменных. Для решения уравнения (5) представим его в виде
d (t) |
|
C dt iC dt |
|
(t) |
|
i |
|
Решение уравнения (7) имеет вид
(t) exp iCt
Функцию (t) можно представить в виде
|
|
iCt |
Ct |
|
||||
(t) exp |
|
|
|
cos |
|
|
i sin |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||
(7)
(8)
Ct |
(9) |
|||
|
|
|
||
|
||||
|
|
|
||
Таким образом, функция (t) , описывающая изменение (x,t) , представляет собой осциллирующую со временем функцию с частотой
|
C |
. |
(10) |
|
|||
|
|
|
|
Однако в силу соотношения де Бройля частота волны описываемой волновой функцией (x,t) есть
|
|
|
E |
. |
|
|
(11) |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда следует, что постоянная С разделения переменных |
|
|
|
||||
|
|
C E , |
|
|
(12) |
||
где E представляет собой полную энергию частицы. |
iEt |
|
|||||
|
|
|
|
|
|||
|
|
(t) exp |
|
. |
(13) |
||
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||
Подставив постоянную C E в уравнение (6), получим |
|
|
|
||||
|
2 |
d 2 V (x) (x) E (x) |
(14) |
||||
|
|||||||
|
2m dx2 |
|
|
|
|||
Уравнение (14) называет стационарным уравнением Шредингера. Для получения закона движения частицы – волновой функции (x,t) кроме уравнения Шредингера должны быть заданы также начальные и граничные условия.
Почему уравнение Шредингера содержит мнимую единицу i?
Классические волны удовлетворяют классическому волновому уравнению
2 y 1 2 y .
x2 v2 t2
Среди классических волн важное место занимают гармонические волны с амплитудой y0 , частотой и периодом T .
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
t |
|
|
2 |
|
||
y y0 |
cos(kx t) y0 cos 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
y0 |
cos |
|
(x vt), |
|||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
||||||
|
2 |
2 |
, |
k |
|
2 |
, |
|
v . |
|
||||||
|
T |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Уравнение Шредингера является уравнением первого порядка по времени и содержит множитель i .
i 2 U
t 2m
То, что уравнение Шредингера содержит первую производную по времени связано с квантовомеханическим принципом причинности. Если бы уравнение Шредингера содержало вторую производную по времени, то для определения волновой функции в любой произвольный момент времени было бы необходимо задание не только значения волновой функции в начальный момент времени, но и задание первой производной волновой функции во времени. Результаты измерений всегда должны быть представлены действительным числом, но волновая функция(x,t) не всегда является действительным числом, а может быть комплексной величиной. Например, волновая
функция свободной частицы имеет вид (x,t) Aei(kx t ) .
Поэтому волновая функция (x,t) не является непосредственно наблюдаемой величиной, в отличие от классической
волны. Однако наблюдаемой величиной является вероятность того или иного события, которая определяется квадратом модуля волновой функции
W (x,t) 2 * (x,t) (x,t).