Распределения Больцмана fB, Ферми-Дирака fFD, Бозе-Эйнштейна fBE
fB |
|
1 |
|
|
|
||
e eE kT |
|||||||
|
|
||||||
fBE |
|
1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
||||
e eE kT 1 |
|||||||
|
|
|
|||||
fFD |
|
1 |
|
|
|
||
e eE kT 1 |
|||||||
|
|
|
|||||
Зависимость распределений fB, fBE и fFD от энергии при 0 . Кривая fBE расположена выше fB, которая, в свою очередь, везде превышает fFD. Все распределения становятся примерно одинаковыми и сливаются при энергиях, превышающих примерно 5kT.
Частица в бесконечной прямоугольнойьной ямеяме
3 |
|
2 |
|
|
sin |
3 x |
E |
3 |
|
9 2 2 |
|
||||||
|
L |
L |
|
2mL2 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2 |
|
2 |
|
|
sin |
2 x |
E |
2 |
|
4 2 2 |
|
||||||
|
|
L |
L |
2mL2 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1 |
|
2 |
|
sin |
x |
E |
|
|
|
|
2 2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
L |
L |
|
|
2mL2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||||
Частица может иметь только те значения энергии, которые определяются соотношением
(6). Об этой ситуации говорят, что энергия квантуется на дискретные уровни. Частица может находиться в каком-то одном из множества дискретных состояний, доступных для неё. Чтобы частица перешла на другой энергетический уровень, она должна приобрести или потерять некоторое количество энергии, равное разности энергий уровней, между которыми происходит переход.
Энергии состояний растут квадратично в зависимости от квантового числа n. Каждому значению энергии соответствует волновая функция n (x) , которая с учетом условия
нормировки
L |
|
|
|
|
|
L |
|
nx |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
n ( x) |
|
2 |
dx |
|
A sin |
|
|
dx 1 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
L |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
имеет вид
2nx
n ( x) L sin L .
Связанные состоянияя
|
|
|
|
|
E4 |
E n |
2 2 n 2 |
|
E3 |
||
|
|||||
|
E2 |
||||
2 m L |
2 |
|
|
||
|
|
|
|
E1 |
|
|
|
|
|
|
|
В отличие от классической частицы, квантовая частица в прямоугольной яме не может иметь энергию
E 2 2 /(2mL2 ) . Состояния бесспиновой частицы n в
одномерном поле бесконечной потенциальной ямы полностью описываются с помощью одного квантового числа n. Спектр энергий в этом случае дискретный.
Пример
Вычислить допустимые уровни энергии электрона, находящегося в прямоугольной потенциальной яме шириной 10 8 см, протона, находящегося в
потенциальной яме 5 Фм, и шарика массой 1 г, находящегося в потенциальной яме шириной 1 см.
|
|
|
|
En |
|
2 2n2 |
, |
|
|
n 1, 2, 3,... |
||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
2mL2 |
|
|
|
|
|
|||
Электрон ( mc2 0,511 МэВ, |
L 10 8 см): |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
En |
|
(197)2 МэВ2 Фм2 |
(3,14)2 |
n2 |
32,9n2 эВ. |
|||||||
|
|
|
2 0,511 МэВ (10)5 |
Фм2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Протон ( mc2 938,3 МэВ, L 5 Фм): |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
En |
(197)2 МэВ2 Фм2 |
(3,14)2 |
|
n2 |
8,5n2 МэВ. |
|||||||
|
|
|
2 938,3 МэВ (5)5 Фм2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Шарик ( m 1 г, L 1 см): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
En |
|
(197)2 МэВ2 Фм2 (3,14)2 1,6 10 6 |
|
n2 |
3, 4 10 42 n2 эВ. |
|||||||||
2 (3 1010 см/сек)2 (1013 )2 Фм2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Гамильтониан
Общий вид: H E U
Свободная частица:
H 2 2m
Частица в одномерной потенциальной яме U(x):
|
2 |
d |
2 |
|
|
|||
H |
|
|
|
|
|
U(x), |
0 x L |
|
|
|
|
|
2 |
||||
|
2m |
|
|
|
|
|||
|
|
|
dx |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Гармонический осциллятор:
|
|
|
2 |
|
d2 |
|
2 |
x |
2 |
|
|
|
|||||||||
|
H |
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
2m |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Атом водорода: |
H |
2 |
e2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
2m |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
||||
Атом гелия: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2e2 |
2e2 |
e2 |
|
|||||
H |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
2m |
1 |
|
2m |
2 |
|
|
r1 |
r2 |
|
r12 |
||||||||||