Karmazin_-_Teoria_Igr_Uchebnik / P10_3

Тема 10. РЕШЕНИЕ ТРАНСПОРТНЫХ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Однородный продукт, сосредоточенный в пунктах отправления в количествах единиц соответственно, необходимо доставить в каждый из пунктов назначения в количествах . Стоимость перевозки единицы из -го пункта отправления в -й пункт назначения равна и известна для всех комбинаций . Пусть  количество продукта, перевозимого по маршруту . Задача заключается в определении таких величин для всех маршрутов , при которых суммарная стоимость перевозок была бы минимальной.

Математическая модель транспортной задачи имеет следующий вид:

(1)

; (2)

; (3)

. (4)

Для совместности уравнений (2) и (3) необходимо, чтобы

. (5)

Такая модель называется закрытой.

Теорема 1. Любая транспортная задача, для которой выполняется условие (5), имеет решение.

Теорема 2. Система ограничений (2) и (3) содержит линейно независимых уравнений.

Следствие 1. Существует опорное решение транспортной задачи, содержащее не более чем положительных перевозок .

Теорема 3. Если предположить, что все и  неотрицательные целые числа, то любой опорный план состоит из целочисленных перевозок .

Все данные транспортной задачи записываются в виде табл. 1. Клетки таблицы, в которых находятся отличные от нуля перевозки, называются занятыми, остальные  свободными. Занятые клетки соответствуют базисным неизвестным, и для невырожденного опорного решения их количество равно .

Циклом называется набор клеток , в котором две и только две соседние клетки расположены в одном столбце или одной строке таблицы. Графически цикл представляет собой замкнутую ломаную линию.

Таблица 1

			. . .			. . .
			. . .			. . .
			. . .			. . .
			. . .			. . .

Допустимое решение будет опорным, если в таблице нельзя построить замкнутый цикл, все вершины которого расположены в занятых клетках. Всякое решение транспортной задачи, содержащее более занятых клеток, не является опорным. При таком решении в таблице всегда можно построить замкнутый цикл, с помощью которого уменьшают число занятых клеток до .

Существует несколько простых методов построения исходного опорного решения, рассмотрим их на примерах.

Метод северо-западного угла. Применим это правило к следующей таблице:

Не учитывая стоимости перевозки единицы груза, определим значения перевозок . Определим сначала максимально возможное значение переменной , стоящей в верхнем левом углу. Положим ; если , то и все для . Если , то и все для . Допустим, что имеет место ; тогда таблица преобразуется следующим образом:

После этого определим значение первой переменной во второй строке, полагая и т.д.

Решение, получаемое методом северо-западного угла, является опорным.

Таблица 2

	7		7		7		7		2
		16		30		17		10		16
4	4
		30		27		26		9		23
6	3		3
		13		4		22		3		1
10			4		6
		3		1		5		4		24
10					1		7		2

Пример 1. В табл. 2 приведено исходное опорное решение транспортной задачи, полученное методом северо-западного угла. Начиная движение от занятой клетки (1,1), строим ломаную с вершинами в занятых клетках. Видим, что ломаная не содержит циклов, следовательно, этот план перевозок  опорный. Вычислим значение целевой функции для полученного плана перевозок:

.

Метод минимального элемента. Суть метода заключается в том, что из всей таблицы стоимостей выбирают наименьшую и в соответствующую ей клетку помещают максимально возможный объем перевозок: . Затем из рассмотрения исключают либо строку, соответствующую поставщику, запасы которого полностью израсходованы, либо столбец, соответствующий потребителю, потребности которого полностью удовлетворены, либо строку и столбец, если израсходованы запасы поставщика и удовлетворены потребности потребителя. Из оставшейся части таблицы снова выбирают наименьшую стоимость, и процесс распределения запасов продолжают, пока все запасы не будут распределены, а потребности удовлетворены.

Пример 2. С помощью этого метода построим план перевозок уже рассмотренной задачи.

Таблица 3

	7		7		7		7		2
		16		30		17		10		16
4	3				1
		30		27		26		9		23
6					6
		13		4		22		3		1
10	1						7		2
		3		1		5		4		24
10	3		7

Соединяя занятые клетки ломаной, убеждаемся, что построенный план ациклический и, следовательно, опорный. Определим его общую стоимость:

.

Стоимость плана перевозок, построенного методом минимального элемента, значительно меньше стоимости плана, построенного методом северо-западного угла, следовательно, он ближе к оптимальному.

Метод двойного предпочтения. В каждой строке таблицы отмечаем знаком предпочтения   клетку с минимальной стоимостью . Затем отмечаем знаком  в каждом столбце клетку с минимальной стоимостью. В результате некоторые клетки получат отметку   отметку двойного предпочтения. В эти клетки размещаем максимально возможные объемы перевозок, каждый раз исключая из рассмотрения соответствующие строки и столбцы. Затем распределяем перевозки по клеткам, помеченным одним знаком предпочтения  . В оставшейся части таблицы объемы перевозок распределяем по методу минимального элемента.

Таблица 4

	7		7		7		7		2
		16		30		17		10		16
4	3				1
		30		27		26		9		23
6					6
		13		4		22		3		1
10	1						7		2
		3		1		5		4		24
10	3		7

Пример 3. С помощью этого метода построим план перевозок уже рассмотренной задачи. План перевозок (табл. 4) составленный методом двойного предпочтения совпал, в данном примере, с планом полученным методом минимального элемента.

Метод Фогеля. В каждой строке и каждом столбце таблицы определим разность между двумя наименьшими ценами. Затем из всех разностей выберем наибольшую и в соответствующей этой разности строке или столбце, в клетке с минимальной стоимостью, устанавливаем максимально возможный объем перевозок. В результате этого шага какой-то столбец или строку можно исключить из рассмотрения. Для оставшейся части таблицы снова определяем разности между двумя наименьшими ценами в каждой строке и каждом столбце, выбираем наибольшую из разностей и т.д. После каждого шага часть таблицы, подлежащей анализу, будет уменьшаться на строку или столбец. Выполняем описанную процедуру пока не будет составлен полный план перевозок.

Пример 5. С помощью метода Фогеля построим план перевозок уже рассмотренной задачи. Обозначим через разность между двумя наименьшими ценами в i-й строке на k-м шаге, а через  разность между двумя наименьшими ценами в j-м столбце на k-м шаге.

Таблица 5

	7		7		7		7		2				
		16		30		17		10		16	6	6	
4	4
		30		27		26		9		23	14	17	
6							6
		13		4		22		3		1	2	1	
10			7				1		2
		3		1		5		4		24	2	2	
10	3		0		7
		10		3		12		1		15
		10		3		12		1		__
										