Предисловие

Предлагаемый курс лекций входит в программу обучения студентов факультета прикладной математики и информатики Белорусского государственного университета по специальностям «Экономическая кибернетика» и «Актуарная математика».

Данный курс является переработанным и расширенным вариантом курса лекций «Уравнения с частными производными с приложениями в экономике», изданного в Белгосуниверситете.

В первых четырех главах книги излагаются основы классической теории уравнений с частными производными второго порядка. Приводятся основные понятия и классификация уравнений, формулируются задача Коши, смешанные задачи для гиперболических и параболических уравнений и краевые задачи для эллиптических уравнений. Излагаются аналитические методы решения задач, приводятся теоремы существования, единственности и непрерывной зависимости решений, исследуются свойства решений. Пятая глава содержит основные сведения из теории марковских стохастических процессов и их описание с помощью уравнений Колмогорова. Шестая глава посвящена основам математического моделирования денежных и материальных накоплений семьи с использованием уравнений с частными производными, учитывающих случайные факторы. В седьмой главе приведен ряд математических моделей динамики стоимости акций и опционов, основанных на уравнении Блэка–Шоулса и теории обыкновенных стохастических дифференциальных уравнений. В восьмой главе рассмотрено уравнение Слуцкого для теории товарного потребления.

Материал книги разбит на 24 лекции, в главах книги приведены задачи для практических занятий.

Теория уравнений с частными производными формировалась в большей степени применительно к задачам физики, так как любая физическая макроструктура содержит более структурных единиц, что позволяет рассматривать такие объекты, как непрерывные среды. Для исследования задач экономики предпочтительным является аппарат дискретной математики. Тем не менее для качественного описания динамики во времени финансовых потоков и трудовых ресурсов, содержащих до элементов, также возможно применение уравнений с частными производными.

Авторы считают, что книга будет полезна студентам, знакомящимся с современными методами математического моделирования.

1. Классификация уравнений

Уравнения с частными производными обобщают обыкновенные дифференциальные уравнения на случай функций со многими переменными. Практическое использование уравнений с частными производными привело к выделению из всего многообразия уравнений трех основных классов уравнений: гиперболических, параболических и эллиптических уравнений. Важнейшими представителями этих классов являются уравнения математической физики: уравнение колебаний струны, уравнение теплопроводности, уравнение Лапласа, которые могут быть использованы и для построения математических моделей в экономике. Простейшие задачи, которые возникают в теории уравнений с частными производными, это задачи о преобразовании уравнений с помощью замены независимых переменных к некоторым каноническим уравнениям и задачи о нахождении решений уравнений в аналитическом виде.