6.6. Постановка задач для уравнения денежных и материальных накоплений

Как было показано, если динамика денежных и материальных накоплений отдельной семьи подчиняется системе стохастических уравнений (6.39), где – марковский стохастический процесс с переходной функцией плотности вероятностей, которая определяется функциями,,(5.20), тогда плотностьансамбля семей в пространстве накопленийN удовлетворяет параболическому уравнению (6.54):

, (6.80)

где ;– эллиптический оператор.

Из множества решений уравнения (6.80) необходимо найти единственное решение, которое адекватно описывает динамику накоплений выделенного множества семей (ансамбля семей), схожих по своей экономической деятельности. Для выделения единственного решения на искомую функцию необходимо наложить дополнительные условия, порождающие краевую задачу.

Сформулируем некоторые краевые задачи для уравнения (6.80) по аналогии с краевыми задачами для двухмерного уравнения теплопроводности (3.26).

Задача Коши на пространстве накоплений N. Предположим, что в начальный момент времени известны накопления каждой семьи. В результате с помощью соотношения (6.40) можно определить функцию плотности распределения семейна пространстве накопленийN в начальный момент времени. Получим начальное условие

. (6.81)

Добавив начальное условие (6.81) к уравнению (6.80), поставим задачу Коши

в , (6.82)

, , (6.83)

в которой требуется определить решение уравнения (6.82), удовлетворяющее условию (6.83). ■

Решение этой задачи позволяет определить плотность распределения семей по пространству денежных и материальных накоплений в любой момент времени и спрогнозировать материальное положение семей в будущем.

Первая смешанная задача на четверти пространства накоплений. Рассмотрим ансамбль семей на четверти пространства накоплений N=. Пусть в начальный момент времени задано начальное условие (6.81) на пространствеN. Далее пусть каким- либо способом на линиях или плотность семей поддерживается равной нулю, то есть заданы граничные условия

, (6.84)

на границе множества N. Это означает, что число семей с малыми денежными или с малыми материальными накоплениями стремится к нулю.

Добавив начальное условие (6.81) и граничные условия (6.84) к уравнению (6.80), поставим первую смешанную задачу для четверти пространства:

в , (6.85)

, , (6.86)

, ,,, (6.87)

в которой требуется определить решение уравнения (6.85), удовлетворяющее условиям (6.86), (6.87).

Первая смешанная задача на конечном пространстве накоплений. Рассмотрим ансамбль семей на конечном пространстве накоп-лений N=, где – ограниченная область (см. рис. 6.11).

Рис. 6.11

Пусть задано начальное условие (6.81) на пространстве N. Далее пусть каким-либо способом на границе области плотность семей поддерживается равной нулю, то есть на границе задано граничное условие первого рода:

. (6.88)

Добавив начальное условие (6.81) и граничное условие (6.88) к уравнению (6.80), поставим первую смешанную задачу для области :

в , (6.89)

, , (6.90)

, , (6.91)

в которой требуется определить решение уравнения (6.89), удовлетворяющее условиям (6.90) и (6.91).

Третья смешанная задача на конечном пространстве накоплений. Рассмотрим ансамбль семей на конечном пространстве накоплений N. Однородное уравнение (6.80) с учетом выражения (6.55) запишем в дивергентном виде:

, (6.92)

где

–.

Проинтегрируем уравнение (6.92) по области . Учитывая формулу Остроградского–Гаусса и (6.41), получаем

,

где – единичная внешняя нормаль к контуру .

Потребуем выполнения на границе граничного условия

, (6.93)

тогда , то есть число семей в области не изме-няется со временем .

Физическая размерность поэтому величину можно интерпретировать как поток семей через контур : – число семей, которые перемещаются через единичную дугу контура в окрестности точки в направлении за единицу времени.

Добавив начальное условие (6.81) и неоднородное граничное условие (6.93) к уравнению (6.80), поставим третью смешанную задачу:

в , (6.94)

, , (6.95)

, , (6.96)

в которой требуется определить решение уравнения (6.94), удовлетворяющее условиям (6.95) и (6.96). ■

Граничное условие (6.96) означает, что на границе задан поток семей. При этом операторв граничном условии содержит произвольный параметр, который характеризует направление потока.

Стационарная краевая задача. Если функции не зависят от времени, решение задачи (6.94)-(6.96) при достаточно больших значениях временного параметра также перестает зависеть от. Тогда, а начальным условием (6.95) можно пренебречь. В результате получим краевую задачу для эллиптического уравнения:

, (6.97)

. (6.98)

Требуется определить решение уравнения (6.97), которое удовлетворяет граничному условию третьего рода (6.98). ■

Заметим, что сформулированные задачи в общем случае могут быть решены только численно и требуют исследования проблемы существования и единственности решения при условии его положительности.