[Лекция 20]

6.5. Постановка задач для уравнения денежных накоплений ансамбля семей

Как было ранее показано, если динамика денежных накоплений отдельной семьи подчиняется стохастическому уравнению (6.13), где - марковский стохастический процесс с переходной функцией пло-тности вероятностей , которая определяется функциями(5.10), тогда плотностьансамбля семей в пространс-тве накопленийN удовлетворяет параболическому уравнению (6.30):

, (6.56)

где .

Из множества решений уравнения (6.56) необходимо найти единственное решение, которое адекватно описывает динамику накоплений выделенного множества семей, схожих по своей экономической деятельности. Для выделения единственного решения на искомую функцию необходимо наложить некоторые дополнительные условия, возникающие в зависимости от дополнительной информации, которой обладает исследователь.

Сформулируем краевые задачи для уравнения (6.56) по аналогии с краевыми задачами математической физики.

Задача Коши на пространстве накоплений. Предположим, что в начальный момент времени известны накопления каждой семьи. В результате с помощью соотношения (6.16) определяется функция плотности распределения семейна пространстве накопленийN в начальный момент времени. Получим начальное условие

. (6.57)

Добавив начальное условие (6.57) к уравнению (6.56), поставим задачу Коши:

в , (6.58)

, (6.59)

в которой требуется определить решение уравнения (6.58), удовлетворяющее условию (6.59). Решение задачи (6.58), (6.59) позволяет определить плотность распределения семей по накоплениям в любой момент времени.

Первая смешанная задача на полубесконечном пространстве накоплений. Рассмотрим ансамбль семей на полубесконечном пространстве накопленийN. Пусть в начальный момент времениизвестна плотность распределения семей по накоплениям, то есть задано начальное условие (6.57) на пространствеN. Далее пусть каким-либо способом в точкеплотность семей поддерживается равной нулю, то есть задано граничное условие первого рода:

. (6.60)

Это означает, что число семей с малыми накоплениями стремится к нулю.

Добавив начальное условие (6.57) и граничное условие (6.60) к уравнению (6.56), поставим первую смешанную задачу на полуоси:

в , (6.61)

, (6.62)

, (6.63)

в которой требуется определить решение уравнения (6.61), удовлетворяющее условиям (6.62), (6.63).

Первая смешанная задача на конечном пространстве накоплений. Рассмотрим ансамбль семей на конечном пространстве накоплений N, где накопления ограничены максимальным накоплением. Пусть в начальный момент времениизвестна плотность распределения семей по накоплениям, то есть задано начальное условие (6.57) на пространствеN. Далее пусть каким-либо способом в точкахиплотность семей поддерживается равной нулю, то есть заданы граничные условия первого рода на концах отрезка:

, . (6.64)

Это означает, что число семей с малыми накоплениями и большими накоплениями стремится к нулю.

Добавив начальное условие (6.57) и граничные условия (6.64) к уравнению (6.56), поставим первую смешанную задачу на отрезке:

в , (6.65)

, , (6.66)

, ,, (6.67)

в которой требуется определить решение уравнения (6.65), удовлетворяющее условиям (6.66), (6.67).

Третья смешанная задача на конечном пространстве накоплений. Введем величину, характеризующую перемещение семей в пространстве накоплений. Если выделить на пространстве N отрезок , то число семей с денежными накоплениями в пределах этого отрезка определяется формулой (6.17). Проинтегрируем однородное уравнение (6.56) по переменной, тогда

,

где .

Физическая размерность , поэтому функциюбудем называть потоком семей через точкув момент времени;- число семей, которое пересекает точку в положительном направлении осиза единицу времени. Если поток семей в точкахиравен нулю, то есть,, тогда. Следовательно, число семей на отрезкесо временем не изменяется. Рассмотрим ансамбль семей на конечном пространстве накопленийN. Пусть в начальный момент времени известна плотность распределения семей по накоплениями задано начальное условие (6.56) на пространствеN. Далее пусть каким-либо способом в точкеипоток семей поддерживается равным заданным значениям, то есть заданы граничные условия третьего рода на концах отрезка:

, . (6.68)

Добавив начальное условие (6.57) и граничные условия (6.68) к уравнению (6.56), поставим третью смешанную задачу на отрезке:

в , (6.69)

, , (6.70)

, ,, (6.71)

в которой требуется определить решение уравнения (6.69), удовлетворяющее условиям (6.70), (6.71).

Смешанные задачи с нелокальными граничными условиями. Разобьем отрезок на элементарные отрезкидлиной. В соответствии с формулой (6.16) на отрезкенаходитсясемей. Так как каждая семья на отрезкеимеет приблизительнорублей накоплений, то в семьях на отрезкесосредоточенорублей. Суммируя по всем элементарным отрезкам, вычисляем сумму денег:

, (6.72)

где – сумма денег, накопленных в семьях на отрезкев момент времени. Поставим смешанную краевую задачу для уравнения денежных накоплений (6.56) на пространстве накопленийNс граничным условием (6.60) и специальным условием (6.72):

в ,

, ,

, ,, (6.73)

где второе условие (6.73) называется нелокальным граничным условием, так как в нем задействовано не только значение функции в изолированной точке, но и значения искомой функцииво всех точках отрезка. ■

Если вместо первого условия (6.73) задано число семей в ансамбле на пространствеNв соответствии с формулой (6.17), тогда имеем задачу с двумя нелокальными граничными условиями:

в ,

, ,

, ,. ■ (6.74)

Заметим, что сформулированные краевые задачи требуют исследования проблемы существования и единственности решения при дополнительном условии положительности решения.

Пример 6.1. Рассмотрим задачу Коши (6.58), (6.59) для однородного уравнения денежных накоплений в простейшем случае, когда и -. Получим задачу Коши для параболического уравнения с постоянными коэффициентами:

в ,

.

Решение задачи представим в виде интеграла (2.56):

, (6.75)

где – фундаментальное решение (2.90) уравнения (2.84).

Так как - начальная плотность распределения семей по накоплениям, то из формулы (6.17) следует , где - число семей ансамбля.

Для примера выберем в качестве начальной функции

, (6.76)

где - -функция Дирака на , сосредоточенная в точке .

Плотность (6.76) означает, что все семей в начальный момент времени имеют рублей накоплений. Подставив (6.76) в (6.75) и использовав свойство -функции (2.71), определим распределение семей по накоплениям в произвольный момент времени :

. (6.77)

Рис. 6.10

Таким образом, начальная функция иглообразной формы (6.76) с течением времени расплывается, принимая форму «холма», вершина которого движется вправо со скоростью при (см. рис. 6.10). ■

Для функции (6.77) можно дать другую интерпретацию. Рассмотрим в пространстве накоплений одну семью с рублями накоплений при , тогда для начальной функции (6.76). Так как накопления описываются стохастическим дифференциальным уравнением (6.13), то в момент времени накопления семьи являются случайной величиной. Функция (6.77) по переменной при означает плотность вероятностей указанной случайной величины в момент времени . Эту функцию можно рассматривать как решение стохастического дифференциального уравнения (6.13) при начальном условии (6.3). Сформулируем следующую задачу.

Задача Коши для стохастического уравнения.

в , (6.78)

. (6.79)

Требуется определить плотность вероятностей случайной величины в момент временипри условии, что в начальный момент временивеличина имела постоянное значение. ■