Таким образом,

. (7.11)

Вычислим внутренний интеграл и произведем замену переменной интегрирования на новую переменную . Тогда

где

. (7.12)

Воспользуемся формулой (5.25) из леммы 5.1:

.

Вычислим производные от функции (7.12):

,

,

где означает производную по первому аргументу функции .

Пренебрегая величинами более высокого порядка малости, чем , получаем

Возвращаясь к интегралу (7.11), получаем

Суммируя эти интегралы по всем элементарным интервалам , на которые разбивается временной отрезок , получаем интегральную сумму, которая преобразуется в интеграл при :

(7.13)

Подставляя формулы (7.6), (7.7), (7.13) в уравнение баланса (7.5) и опуская интегралы, получаем уравнение для плотности акций:

.

Если , то

, , (7.14)

где

, , . (7.15)

Параболическое уравнение (7.14) называется уравнением для плот-ности акций. Запишем это уравнение в дивергентном виде:

. (7.16)

Такая форма записи позволяет легко вывести закон сохранения числа акций на пространстве цен П. Действительно, интегрируя уравнение (7.16) по в пределах от до и используя (7.4), получаем

.

Следовательно, , то есть число акций на пространстве цен не зависит от времени .

7.3. Смешанная задача для уравнения плотности акций

Предположим, что в начальный момент времени акции распределены на полуоси и известна функция плотности их распределения . Требуется определить плотность акций из уравнения (7.14) в последующие моменты времени .

Для этого решим следующую смешанную задачу для полубесконечного пространства :

в , (7.17)

, , (7.18)

, , (7.19)

где , , .

Введем новую неизвестную функцию , производя замену , тогда

,

(7.20)

, .

Далее произведем замену независимых переменных , вводя новые переменные :

, , .

Вычислим производные

, , .

После подстановки вычисленных производных в уравнения (7.20) получим задачу Коши, аналогичную задаче (2.62), (2.63) для уравнения теплопроводности:

в области ,

(7.21)

, ,

где , ; граничное условие (6.48) преобразуется в условие на бесконечности: при .

Решим задачу (6.50), используя интеграл Пуассона (2.64):

,

где .

Заменим переменную интегрирования , тогда

.

Возвращаясь к старым величинам, получим решение исходной задачи (7.17)-(7.19):

, (7.22)

где .

Пример 7.1. Рассмотрим пакет из акций, каждая из которых в момент времени стоила рублей. Тогда начальная плотность акций в условии (7.18) может быть представлена в виде

,

где – дельта-функция Дирака.

Подставляя в формулу (7.22) и используя свойство (2.71), получаем

. (7.23)

При функцию (7.23) можно интерпретировать как плотность вероятностей, с которой будет распределена цена одной акции в момент времени при условии, что в начальный момент времени акция стоила рублей. ■

Утверждение 7.1. Функция

=, (7.24)

, , , ,

является переходной функцией плотности вероятностей сильно непрерывного марковского стохастического процесса, определяемого функциями

, , (7.25)

и удовлетворяет уравнению Колмогорова (7.16). ■

213