7.2. Параболическое уравнение для плотности акций в пространстве цен

Стохастическое дифференциальное уравнение для стоимости акции. Рассмотрим ось на которой точка изображает акцию, а координата точки означает цену акции в момент времени . Физические размерности: , . Очевидно, что со временем точка будет перемещаться, так как цена акции изменяется. Функцию будем называть функцией цены акции, множество П- пространством цен (пространством Блэка-Шоулса). В простейшем случае функция подчиняется стохастическому дифференциальному уравнению [14, с. 337]:

, , (7.1)

где - стохастический процесс, определяемый переходной функцией плотности вероятностей , для которой выполнены соотношения (5.10) при постоянных и ; - постоянные: - норма возврата акций, - волатильность акций, если процесс винеровский, то есть .

Дадим интерпретацию коэффициенту . Пусть стоимость акции растет напроцентов в месяц, тогда за времяцена акциивырастет нарублей и в момент временисоставитрублей. Вычислим скорость перемещения акции в пространстве цен:

.

В дальнейшем будем рассматривать более общее уравнение

, (7.2)

описывающее динамику цены акции.

Дифференциальное уравнение для пакета акций. Уравнение (7.2) описывает динамику цены отдельной акции. Предположим, что имеется акций, цена которых описывается одним и тем же уравнением (7.2). Так как акции одного сорта продаются в различных условиях, то их цены в фиксированный момент времени могут различаться. Это означает, что акции некоторым образом распределены по оси Поместим на оси точек. Координата каждой точки (акции) означает цену, по которой данная акция была приобретена к моменту времени На оси рассмотрим достаточно малый интервал длины , и пусть – число точек (акций) на отрезке в момент времени

Введем функцию

, (7.3)

где - функция плотности распределения акций на положительной части оси (плотность акций). Размерность .

Понятно, что - число акций, приобретенных по ценам в пределах отрезка к моменту времени Имеем

. (7.4)

Выведем дифференциальное уравнение для функции . Для этого рассмотрим произвольный интервал П. Обозначим дополнение: .

Считается, что акции постоянно продаются, покупаются и со временем их цена меняется, поэтому точки, обозначающие акции, перемещаются по оси . За промежуток времени часть акций попадет на отрезок , часть выпадет из этого отрезка. Запишем уравнение баланса акций для интервала за промежуток времени от до :

, (7.5)

где - изменение числа акций за время от до , которые имеют цену в пределах интервала ; - число акций, которые попадут на интервал за время от до за счет детерминированной части уравнения (7.2); - за счет случайных процессов.

Вычислим величину . Используя формулу (6.19), по аналогии определяем

. (7.6)

Вычислим величину Аналогично, используя преобразования вида (6.20)-(6.22), определяем

. (7.7)

Вычислим Для этого рассмотрим два момента времени и и две оси , изображающие пространства цен в эти моменты времени. Вычислим число акций , которые попадут на отрезок к моменту времени из множества в момент времени за счет случайного процесса. Множество разобьем на элементарные отрезки длиной . Пусть точка принадлежит отрезку. На элементарном отрезке, согласно с определением (7.3), находится в момент времени акций. Эти акции через промежуток времени распределятся по всей полуоси , но в момент времени . Чтобы определить это распределение, запишем уравнение (7.2) для конечного интервала времени :

, (7.8)

где - реализованное значение стохастического процесса в момент времени ; – значение стохастического процесса в момент времени . При этом случайная величина описывается плотностью вероятностей

. (7.9)

Рассмотрим акцию с ценой в момент времени , тогда .

В равенстве (7.8) отождествим , тогда , .

Далее, пусть случайная величина принимает значения в интервале , то есть

, . (7.10)

Таким образом, если выполнено условие (7.10), тогда величина для функции (7.9) изменяется в пределах при .

Отсюда можно заключить, что если величина в момент времени приняла значение , то величина в момент времени примет значение из интервала с вероятностью

.

Умножив эту вероятность на число акций , определим число акций , которое перейдет из интервала в момент времени на отрезок , но в момент времени . В результате

при .

Суммируя по всем в пределах множества , получаем при интеграл

.

Производя замену переменных интегрирования , получаем

.

Аналогично вычислим число акций, которые покинут отрезок и попадут на множество к моменту времени :

.

Вычислим приращение числа акций на отрезке за интервал времени :

=

.

Сделав замену переменной , вычислим интеграл справа: