В частности, для точки имеем

. (1.25)

Если , то из равенства (1.25) следует, что противоречит условию, входящему в определение 1.6. Таким образом,. Откуда следует равенство

(1.26)

в точке .

С другой стороны, имеет место очевидное тождество

,

где функции определяются формулами (1.24) и являются корнями квадратного трехчлена, стоящего слева.

Так как для функции в точкевыполнено одно из уравнений (1.23), то

. (1.27)

Подставив формулу (1.26) в (1.27), получим требуемое равенство

в произвольной точке .

Таким образом, функция удовлетворяет уравнению (1.21).

Заметим, что имеет место также утверждение, обратное утверждению леммы 1.1

Далее приведем еще ряд утверждений, характеризующих решение уравнения характеристик (1.21).

Утверждение 1.3. Пусть функция в областиудовлетворяет уравнению

, (1.28)

тогда является решением уравнения характеристик (1.21) в области. Аналогично, если функцияудовлетворяет уравнению

, (1.29)

тогда также является решением уравнения (1.21).

Доказательство. Умножим равенство (1.28) на , тогда

,

то есть получим уравнение (1.21). Аналогично для функции.

Утверждение 1.4. Пусть - комплексное решение уравнения характеристик (1.21) в области , где, тогда преобразование (1.13) приводит уравнение (1.12) к уравнению (1.16) с коэффициентами

. (1.30)

Доказательство. Подставим комплексное решение в уравнение (1.21), тогда с учетом формул (1.17) получим равенства

. (1.31)

Отсюда следуют формулы (1.30).

Утверждение 1.5. Если для действительные функциии удовлетворяют одной из двух систем уравнений с частными производными первого порядка [4]

,

(1.32)

,

где , знаки выбираются одновременно либо нижние либо верхние, тогда комплексная функцияудовлетворяет уравнению характеристик (1.21) в области.

Доказательство. Пусть выполнены уравнения (1.32). Перемножим эти уравнения, тогда

.

Раскрывая скобки и учитывая формулы (1.17), получим. Далее возведем уравнения (1.32) в квадраты и вычтем, тогда с учетом формул (1.17) получим соотношение. Используя цепочку равенств (1.31), заключаем, что функцияудовлетворяет уравнению (1.21).

Отметим, что имеет место также утверждение, обратное утверждению 1.4.

Замечание 1.1. Существование решения системы уравнений (1.32) легко доказывается в случае аналитических коэффициентов . Для этого достаточно для системы (1.32) в окрестности точкипоставить задачу Коши с начальными условиями

, (1.33)

где - произвольно выбранные аналитические функции.

Из теоремы Коши-Ковалевской (См. замечание 2.1) следует существование аналитического решения в некоторой окрестности точки . Накладывая на производные начальных функций (1.33) условия, получаем решение системы (1.32), для которогов некоторой окрестности точки.

При решении задач на практических занятиях, как правило, рассматриваются уравнения с аналитическими коэффициентами . Более того, действительные коэффициенты уравнения могут быть продолжены в комплексную область и рассмотрены как аналитические функциикомплексного переменногов области. В этом случае для нахождения решений уравнения (1.21) может быть использована следующая лемма.

Лемма 1.2. Пусть дискриминант ,в областии- первый интеграл в области характеристического уравнения (1.19):

, (1.34)

где функция и при каждом фиксированномявляется аналитической функцией комплексной переменнойв области, а при определении квадратного корнявыбирается ветвь, соответствующая арифметическому корню.

Тогда функция

(1.35)

является комплексным решением уравнения с частными производными (1.21) в области .

Доказательство. Так как в, то продолженная в областьфункцияв силу непрерывности также не равна нулю в расширенной области,. В дальнейшем будем считать, что. Следовательно, правая частьуравнения (1.34) является аналитической функцией по переменнымв области. Зафиксируем точкуи построим комплексное решение уравнения (1.34), пересекающее областьи удовлетворяющее начальному условию.

Вычислим производную в точке. Согласно с определением первого интеграла, для решения, имеем тождество

, ,

где .

Дифференцируя предыдущее равенство по получаем

.

В частности, для точки имеем

.