[Лекция 2]

1.2. Замена независимых переменных в уравнениях второго порядка с двумя переменными

Рассмотрим в области уравнение с частными производными второго порядка (1.6):

(1.12)

где для сокращения записи уравнения введены обозначения производных

.

Будем считать, что коэффициенты уравнения (1.12) достаточно гладкие действительные функции, для определенности пусть. Будем считать также, чтов области.

Поставим задачу об упрощении уравнения (1.12). Одним из способов упрощения уравнений является замена независимых переменных. Перейдем в уравнении (1.12) от независимых переменных к новым независимым переменнымс помощью невырожденного преобразования

(1.13)

где заданные действительные функции .

Преобразование (1.13) невырожденное в области , если определитель (якобиан), составленный из частных производных первого порядка,

(1.14)

в любой точке .

Из условия (1.14) следует, что в любой точке области. По определению.

Запишем дифференциальное уравнение (1.12) в новых переменных , вычисляя производные, входящие в уравнение

, , (1.15)

.

Аналогично вычислим

,

.

Подставив найденные выражения в (1.12), получим уравнение с частными производными в новых переменных:

(1.16)

где новые коэффициенты уравнения рассматриваются как функции переменных и определяются формулами

, ,

, (1.17)

.

Утверждение 1.2. При невырожденном действительном преобразовании (1.13) тип уравнения (1.12) сохраняется.

Доказательство. Определим тип уравнения (1.16), вычислив дискриминант с учетом формул (1.17). Получим

. (1.18)

Таким образом, знак дискриминанта уравнения (1.12) совпадает со знаком дискриминанта уравнения (1.16).

Поставим задачу о нахождении функций и таких, чтобы преобразованное уравнение (1.16) приняло наиболее простой вид. С решением этой задачи тесно связано обыкновенное дифференциальное уравнение

(1.19)

называемое характеристическим уравнением исходного уравнения (1.12). Уравнение (1.16) упростится, если положить

,

(1.20)

.

Заметим, что соотношения (1.20) – это одно и то же уравнение, но записанное для функций и . Поэтому рассмотрим в области нелинейное уравнение с частными производными первого порядка

, (1.21)

где - неизвестная функция.

Уравнение (1.21) называется уравнением характеристик.

Если удастся найти два решения уравнения (1.21) и, то тем самым будет найдено преобразование (1.13), упрощающее уравнение (1.16).

Определение 1.6. Функция называется первым интегралом в области уравнения

, (1.22)

если на любом решении этого уравнения функцияпостоянна, то есть имеет место равенство

,

где постоянныемогут различаться для разных решений уравнения (1.22). Первым интегралом также называют соотношение.

Докажем некоторые утверждения, которые позволяют исследовать решения уравнения (1.21) и построить преобразование (1.13).

Лемма 1.1. Пусть - первый интеграл в области одного из обыкновенных дифференциальных уравнений (1.19):

, , (1.23)

где

, , (1.24)

в области . Тогда функцияудовлетворяет уравнению с частными производными (1.21) в области.

Доказательство. Зафиксируем точку и построим решениесоответствующего уравнения (1.23), удовлетворяющее начальному условию. На основании теоремы Пикара-Линделефа такое решение существует и единственно в некоторой окрестности точки.

Вычислим производную в точке. Согласно определению первого интеграла, для решения, имеем тождество

,

где .

Дифференцируя предыдущее равенство по , получим

.