Производя замену переменных

, ,

приведем уравнение (2.36) к каноническому виду . Из общего решения (1.82) имеем. Откуда общее решение однородного уравнения колебаний струны (2.36)

. (2.39)

Определим неизвестные функции из начальных условий. Подставив (2.39) в условие (2.37), получим соотношение

. (2.40)

Аналогично, подставляя (2.39) в условие (2.38), получаем

, (2.41)

где - производные по переменной .

Интегрируя равенство (2.41) по отрезку , получаем второе соотношение:

(2.42)

Разрешим систему алгебраических уравнений (2.40), (2.42), тогда

,

.

После подстановки найденных функций в (2.39) получим формулу Даламбера для решения исходной задачи Коши:

. (2.43)

Заметим, что найденное решение является классическим, так как для.

В случае неоднородного уравнения колебаний струны решение задачи Коши

,

определяется формулой

,

где .

Корректность задачи Коши. Процедура построения решения задачи (2.36) – (2.38) показывает, что любое классическое решение задачи Коши для уравнения колебаний струны представимо формулой Даламбера (2.43). Отсюда следует существование и единственность решения задачи в пространстве

Утверждение 2.1. Решение задачи Коши (2.36) – (2.38) в пространстве с метрикой (2.34) непрерывно зависит от начальных функций ,.

Доказательство. Рассмотрим две задачи (2.36)-(2.38) с различными начальными условиями:

, .

Пусть начальные функции мало различаются, то есть

(2.44)

Оценим разность решений в области . Представляя решения задач формулой Даламбера (2.43) и учитывая (2.44), получаем оценку

.

Выберем из интервала, тогдав области.

Таким образом, для найденотакое, что если, тогда.

Показано, что задача Коши для уравнения колебаний струны поставлена корректно в соответствии с определением 2.4.

Замечание 2.2. При математических исследованиях часто в определение непрерывной зависимости от начальных функций включают непрерывную зависимость от правой части исходного уравнения, вводя пространство правых частейс соответствующей метрикой. ■

59