[Лекция 6]

2.2. О корректной постановке задачи Коши

Учитывая общую постановку задачи Коши в виде (2.5), (2.6), сформулируем задачу Коши для уравнения второго порядка с двумя независимыми переменными, то есть в пространстве :

в , (2.23)

, , (2.24)

где - плоская область в ;- линия внутри области ;заданные функции на линии(см. рис. 2.3).

Рис. 2.3

Для строгой математической постановки задачи (2.23), (2.24) необходимо ввести следующие пространства функций: - пространство начальных функций ;- пространство начальных функций ;- пространство функций , в котором отыскивается решение задачи (2.23), (2.24). Для классических решений.

Будем предполагать, что пространства являются метрическими пространствами, то есть наделены расстояниямимежду двумя функциями соответственно вВ случае нормированных линейных пространств,,, где- норма в нормированном пространстве

Определение 2.3. Рассмотрим две задачи Коши с различными начальными функциями:

,

,,.

Решение задачи Коши (2.23), (2.24) непрерывно зависит в пространстве от начальных функций,, если для любогонайдетсятакое, что из неравенств,следует неравенство.

Определение 2.4. Задача Коши (2.23), (2.24) поставлена корректно в пространствах , если выполнены три условия корректности:

1. для любых начальных функций ,существует решение задачи

2. для любых начальных функций ,решение единственно в пространстве

3. решение задачи непрерывно зависит от начальных функций,.

Если не выполнено хотя бы одно из условий корректности, то задача называется некорректно поставленной. Если же не выполнено третье условие корректности, то задача Коши называется неустойчивой по начальным данным.

2.3. Примеры некорректно поставленных задач Коши

Задача Коши для гиперболического уравнения с начальными условиями на характеристике. На плоскости рассмотрим простейшее гиперболическое уравнение (1.79), для которого два семейства координатных прямых линий,являются характеристиками. Выберем характеристическую линиюи поставим для нее задачу Коши в области:

в области , (2.25)

, ,, (2.26)

где ;.

Предположим, что задача (2.25), (2.26) имеет решение , обладающее непрерывной смешанной производнойв области. Так как линияпринадлежит области, то уравнение (2.25) должно выполняться и на линии, то есть

.

Учитывая второе начальное условие (2.26), получаем необходимое условие разрешимости задачи

. (2.27)

Если условие (2.27) не выполнено, то задача (2.25), (2.26) не имеет решений.

Построим решение задачи (2.25), (2.26), предполагая, что условие (2.27) выполнено. Воспользуемся общим решением (1.80) уравнения (2.25), где функции определим из начальных условий.

Удовлетворим первому начальному условию (2.26), тогда

.

Положим .

Удовлетворим второму начальному условию (2.26), тогда

.

Учитывая соотношение (2.27), получим соотношение . Таким образом, произвольная функцияудовлетворяет условиям,.

Общий вид такой функции

,

где произвольная функция ,

Таким образом, получено решение задачи (2.25), (2.26)

,

которое не единственно в силу произвольности функции .

Рассмотренный пример показывает, что задача Коши с начальными условиями на характеристике поставлена некорректно, так как не выполняется первое или второе условие корректности из определения 2.4.

Задача Коши для параболического уравнения с начальными условиями на характеристике. На плоскости с координатамирассмотрим параболическое уравнение (1.73) канонического видадля которого координатные линииявляются характеристиками. Выберем характеристическую линиюи поставим для нее задачу Коши в области:

в области , (2.28)

, ,(2.29)

Предположим, что классическое решение задачи (2.28), (2.29) существует для области . Так как линияпринадлежит области, то уравнение (2.28) должно выполняться и на линии, то есть

.