1.7. Общее решение уравнений с частными производными первого порядка Рассмотрим линейное уравнение с частными производными первого порядка с двумя независимыми переменными:
,
(1.91)
где
для определенности
в
области
;
.
Для нахождения общего решения уравнения (1.91) составим характеристическое уравнение
.
(1.92)
Утверждение
1.6. Пусть
-
первый интеграл обыкновенного
дифференциального уравнения (1.92) в
области
,
,
тогда функция
удовлетворяет уравнению
(1.93)
в
области
.
Доказательство.
Рассмотрим произвольную точку
.
Построим решение
уравнения (1.92) при условии
.
Такое решение, по крайней мере локально,
существует. Тогда, согласно с определением
первого интеграла, выполнено тождество
,
После дифференцирования по
имеем
.
Учитывая
(1.92), получим требуемое равенство (1.93)
для произвольной точки
.
Далее
произведем в уравнении (1.91) замену
переменных (1.38), где в качестве функции
выберем первый интеграл уравнения
(1.92) с условием
,
а в качестве функции
-
любую гладкую функцию
,
такую, что якобиан преобразования
в
.
Учитывая (1.93), получим уравнение
,
,
.
Найдем
для преобразования (1.38) обратное
преобразование
,
,
тогда
,
(1.94)
где
,
.
Проинтегрируем
обыкновенное дифференциальное уравнение
(1.94) по переменной
,
рассматривая
как параметр. Тогда
,
где
.
Возвращаясь
к старым переменным
с учетом (1.35), получим общее решение
уравнения (1.91) (по крайней мере локальное):
,
(1.95)
где
;
-произвольная
непрерывно дифференцируемая функция.
Уравнение
,
,
задает в области
семейство линий, которые называютсяхарактеристическими
линиями
исходного уравнения (1.91), а рассмотренный
метод нахождения общего решения уравнения
(1.91) называется методом
характеристик.
Задачи к главе 1
Определить тип следующих уравнений [19]:
1.1.
.
1.2.
.
1.3.
.
1.4.
.
Определить тип следующих систем уравнений:
2.1.
2.3.
2.2.
2.4.
Привести к каноническому виду уравнения с двумя независимы-ми переменными:
3.1.
.
3.2.
.
3.3.
.
3.4.
.
Привести к каноническому виду и исключить младшие произ-водные в уравнениях с тремя независимыми переменными:
4.1.
.
4.2.
.
4.3.
.
Найти общее решение уравнений:
5.1.
.
5.2.
.
5.3.
.
5.4.
.
5.5.
.