В результате ,

где - произвольная непрерывная функция переменной

Полученное уравнение проинтегрируем по переменной тогда

.

В силу произвольности функции получим общее решение уравнения (1.79) вида

, (1.80)

где - произвольные непрерывно дифференцируемые функции.

Для однородного уравнения

(1.81)

общее решение определяется формулой

. (1.82)

Нахождение решений эллиптического уравнения Лапласа. Отметим, что для эллиптических уравнений нет достаточно простых формул, определяющих общее решение. Как было показано, эллиптическое уравнение второго порядка с двумя независимыми переменными (1.12) при определенных условиях может быть преобразовано к виду (1.78).

Положим тогда получим простейшее эллиптическое уравнение на плоскости

, (1.83)

называемое уравнением Лапласа. Дифференциальный оператор уравнения (1.83) имеет специальное обозначение и называетсяоператором Лапласа. Для уравнения (1.83) легко могут быть построены частные решения с привлечением аналитических функций комплексного переменного. Пусть - произвольная аналитическая функция комплексного переменного в области. Выделим действительную и мнимую части функции, то есть представим

.

Для любой аналитической функции комплексного переменного выполнены уравнения Коши-Римана (1.11).

Дифференцируя первое уравнение (1.11) по , а второе уравнение пои складывая, получаем уравнениедля функции. Аналогично дляимеем.

Таким образом, действительная и мнимая части аналитической функции комплексного переменного являются решениями эллиптического уравнения (1.83).

Пример 1.3. Рассмотрим аналитическую функцию , тогда функцииявляются частными решениями уравнения (1.83) на плоскости.

Пример 1.4. Рассмотрим аналитическую функцию ,. Запишем комплексное числов виде, где,, тогда.

Получим частные решения уравнения (1.83):

, .

Умножив на числовой множитель, получим решение

, (1.84)

которое называется фундаментальным решением уравнения Лапласа на плоскости .

Заметим, что функция (1.84) удовлетворяет уравнению (1.83) во всех точках плоскости за исключением точки

В случае трехмерного пространства для уравнения Лапласа

(1.85)

решение вида

, (1.86)

где - координаты фиксированной точки , называетсяфундаментальным решением уравнения Лапласа в .

Для проверки вычислим производные

, ,

, где .

После подстановки в уравнение (1.85) получим тождество. Заметим, что функция (1.86) удовлетворяет уравнению (1.85) во всех точках пространства за исключением точки.

Частное решение уравнения Пуассона в областивыражается через фундаментальное решение (1.86) в виде интеграла [1, с. 346]

,

называемого объемным потенциалом. В используется фундаментальное решение (1.84).

Фундаментальное решение параболического уравнения. Рассмотрим однородное параболическое уравнение с постоянными коэффициентами и с двумя независимыми переменными:

, . (1.87)

Легко проверить, что функция

, (1.88)

где ,

удовлетворяет уравнению (1.87) в области .

Действительно, вычислим производные

,

(1.89)

, .

Подставив вычисленные производные в уравнение (1.87), получим тождество.

Доопределим функцию (1.88) в области функцией, то есть нулем.

Структура вычисленных производных (1.89) показывает, что любая производная выражается через сумму слагаемых вида.

Легко показать, что при

.

В результате заключим, что

при

Это означает, что функции гладко сопрягаются на осиприи образуют функцию, любое число раз дифференцируемую вкроме точки. Так как коэффициенты уравнения (1.87) постоянные, то функция, где, также является решением уравнения (1.87). Построенное решение

(1.90)

называется фундаментальным решением параболического уравнения (1.87).

Приведенные в этом параграфе специальные решения некоторых уравнений, называемые фундаментальными решениями, используются для исследования различных свойств уравнений. Их важность для приложений будет показана в дальнейшем.

Определение 1.9. Уравнение (1.5) называется гипоэллиптическим в , если любое его классическое решениев любой областиявляется бесконечно дифференцируемым, то есть.

Заметим, что эллиптические уравнения (1.83), (1.85) и параболическое уравнение (1.87) являются гипоэллиптическими уравнениями, а гиперболическое уравнение (1.81) таковым не является.