[Лекция 4]

1.5. Исключение в уравнениях младших производных

В предыдущих разделах производилось упрощение уравнений с помощью замены независимых переменных. Упрощение уравнений может быть осуществлено также с помощью замены неизвестной функции, входящей в уравнение. Покажем это на примере уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными, которые были приведены к каноническим уравнениям (1.45), (1.51), (1.55).

Гиперболические уравнения

(1.72)

Параболические уравнения

(1.73)

Эллиптические уравнения

(1.74)

Рассмотрим случай, когда коэффициенты постоянные. Произведем дальнейшее упрощение уравнений (1.72)- (1.74), вводя вместо функции новую неизвестную функциюс помощью замены

, (1.75)

где постоянные будут определены в дальнейшем.

Вычислим производные:

, ,

, ,

, .

Подставив вычисленные производные в (1.72), получим

.

Полагая коэффициенты при первых производных равными нулю, определяем постоянные В результате уравнение (1.72) преобразуется к виду

(1.76)

где .

Аналогично уравнение (1.73) преобразуется к виду

(1.77)

где в преобразовании (1.75)

Уравнение (1.74) преобразуется к виду

, (1.78)

где в преобразовании (1.75) .

Таким образом, любое линейное уравнение с частными производными второго порядка с двумя независимыми переменными и постоянными коэффициентами может быть приведено к трем наиболее простым уравнениям (1.76), (1.77), (1.78) в зависимости от типа исходного уравнения.

1.6. Классические решения простейших уравнений с частными производными второго порядка

Одной из основных проблем уравнений с частными производными является нахождение решений уравнений. Для одних уравнений общее решение представляется в виде достаточно простых аналитических выражений, для других уравнений решения могут вообще не существовать.

Общее решение простейшего гиперболического уравнения на плоскости. Как было показано, гиперболическое уравнение второго порядка с двумя независимыми переменными (1.12) может быть при определенных условиях приведено к виду (1.76). Полагая получаем простейшее гиперболическое уравнение

. (1.79)

Для определенности будем считать, что .

Найдем общее решение, интегрируя уравнение (1.79) по переменной . Заметим, что при интегрировании уравнения с частными производными по одной из независимых переменных возникающие при интегрировании постоянные в общем случае зависят от остальных независимых переменных.