3.3. Постановка смешанных задач для уравнения теплопроводности в пластине
На
плоскости
расположена тонкая ограниченная пластина
с границей
.
Функция
задает температуру пластины в точке
в момент времени
(см.
рис. 3.4)
Рис. 3.4
В
трехмерном пространстве
с координатами
выделим область
,
представляющую собой полубесконечный
цилиндр (см. рис. 3.5).
В
области
рассмотрим двумерное уравнение
теплопроводности
,
(3.26)
где
искомая функция в области
.
Рис. 3.5
Для
параболического уравнения (3.26) сформулируем
ряд смешанных задач, наложив на функцию
начальное условие на нижнем основании
и граничное условие на боковой поверхности
полуцилиндра
Первая смешанная задача.
в
области
,
(3.27)
,
,
(3.28)
,
.
(3.29)
При
заданных функциях
требуется найти функцию
,
которая удовлетворяет уравнению (3.27) в
области
,
начальному условию (3.28) и граничному
условию первого рода (3.29). ■
Условие
согласования:
.
Граничное
условие (3.29) означает, что на ребре
пластины
задана температура
.
Функция
в начальном условии (3.28) задает температуру
пластины в каждой точке с координатами
в момент времени
Вторая смешанная задача.
в
области
,
,
,
,
,
где
-
единичная внешняя нормаль к контуру
;
-
производная по нормали. ■
Условие
согласования:
.
Третья смешанная задача.
в
области
,
,
,
,
.
■
Условие согласования:
.
В дальнейшем будут поставлены смешанные задачи и для других параболических уравнений, в частности для уравнений денежных накоплений, которые имеют социально-экономическую интерпретацию.