3.2. Постановка смешанных задач для уравнения теплопроводности в стержне
На
плоскости
с координатами
выделим область
,
(см. рис. 3.1). В области
рассмотрим уравнение теплопроводности
,
(3.16)
где
-
искомая функция в области
.
Уравнение (3.16) называется также одномерным уравнением теплопроводности.
Для
параболического уравнения (3.16) поставим
смешанные задачи первого, второго и
третьего рода, наложив на функцию
одно начальное условие на нижнем
основании
и граничные условия на боковых сторонах
полуполосы
.
Первая смешанная задача.
в
области
,
(3.17)
,
,
,
(3.18)
,
,
.
(3.19)
При
заданных функциях
требуется найти функцию
,
которая удовлетворяет уравнению (3.17) в
области
,
начальному условию (3.18) и граничным
условиям первого рода
(3.19). Функции
,
если
.
■
Условия
согласования:
.
Задача
(3.17)-(3.19)
описывает процесс распространения
тепла в тонком стержне длины
,
расположенном вдоль отрезка
(см. рис. 3.3) Функция
задает температуру стержня в сечении
в момент времени
.
Граничные условия (3.19) означают, что в
торцах стержня
поддерживаются заданные температуры
,
.
Функция
в начальном условии (3.18) задает температуру
стержня в каждом сечении
в начальный момент времени
.
Рис. 3.3
Вторая смешанная задача.
в
области
,
(3.20)
,
,
(3.21)
,
,
.
(3.22)
При
заданных функциях
требуется найти функцию
,
которая удовлетворяет уравнению (3.20) в
области
,
начальному условию (3.21) и граничным
условиям второго рода
(3.22). ■
Условия
согласования:
.
Граничные
условия (3.22) означают, что в торцах
стержня
заданы тепловые потоки.
Третья смешанная задача.
в
области
,
(3.23)
,
,
(3.24)
,
.
(3.25)
При
заданных функциях
,
требуется найти функцию
,
которая удовлетворяет уравнению (3.23) в
области
,
начальному условию (3.24) и граничным
условиям третьего рода
(3.25). ■
Условия
согласования:
,
.
Граничные
условия (3.25) моделируют теплообмен
стержня через торцы
с окружающей средой.
Заметим, что для существования классических решений сформулированных задач необходимо на начальные и граничные функции и на правую часть уравнения теплопроводности накладывать некоторые дополнительные условия, в частном случае смотрите [9, стр. 137].