3. СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ

И ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

В предыдущей главе была поставлена и изучена задача Коши для уравнений с частными производными. Рассмотрим еще один класс задач для гиперболических и параболических уравнений, называемых смешанными. С учетом физического смысла смешанные задачи называются также начально-краевыми. Это связано с тем, что при рассмотрении физических задач одна из независимых переменных исходного уравнения интерпретируется как временная переменная , а остальные переменные - как пространственные переменные.

При формулировке смешанных задач на искомую функцию по временной переменной накладываются начальные условия, а на некоторых поверхностях или линиях по пространственным переменным - краевые (граничные) условия различного рода. В дальнейшем будут поставлены и изучены начально-краевые задачи для уравнения колебаний струны и для уравнения теплопроводности.

[Лекция 9]

3.1. Постановка смешанных задач для уравнения колебаний струны

На плоскости с координатами выделим область , представляющую собой полубесконечную полосу (см. рис.3.1).

Рис. 3.1

В области рассмотрим уравнение колебаний струны

, (3.1)

где - искомая функция в области ; - заданная функция.

Для гиперболического уравнения (3.1) в области (рис. 3.1) поставим ряд смешанных задач, наложив на функцию начальные условия на нижнем основании и граничные условия на боковых сторонах , полуполосы .

Первая смешанная задача.

в области , (3.2)

, , , (3.3)

, , . (3.4)

При заданных функциях требуется найти функцию , которая удовлетворяет уравнению (3.2) в области , начальным условиям (3.3) и граничным условиям первого рода (3.4). ■

Задача (3.2)-(3.4) описывает процесс колебаний однородной струны длины , натянутой вдоль отрезка . Граничные условия (3.4) означают, что струна в концевых точках закреплена соответственно на высоте . Так как эти величины зависят от времени , то это означает, что высота закрепления изменяется заданным образом с течением времени. Первое начальное условие (3.3) задает график струны в начальный момент времени , а величина из второго начального условия (3.3) задает начальную скорость струны в точке с координатой . На рис. 3.2 изображен вид струны в момент времени .

Рис. 3.2

Заметим, что при постановке задачи (3.2)-(3.4) на заданные функции должны быть наложены некоторые ограничения. В частности, в угловых точках области должны быть выполнены условия согласования:

. (3.5)

Эти условия являются необходимыми условиями непрерывной дифференцируемости решения в замкнутой области . Так как решение , то, помимо условий (3.5), должны быть выполнены условия второго порядка:

. (3.6)

Действительно, продифференцируем условия (3.4) дважды по , а первое условие (3.3) дважды по , тогда

.

Подставив значения производных в соответствующих точках в уравнение (3.2), получим требуемые условия (3.6).

Укажем, что на начальные и граничные функции и на правую часть уравнения необходимо накладывать некоторые дополнительные условия, обеспечивающие существование классического решения задачи, в частном случае смотрите [9, с. 81].

Вторая смешанная краевая задача.

в области , (3.7)

, , (3.8)

, . (3.9)

При заданных функциях требуется найти функцию , которая удовлетворяет уравнению (3.7) в области , начальным условиям (3.8) и граничным условиям второго рода (3.9). ■

Граничные условия (3.9) означают, что на струну в концевых точках действуют заданные силы, направленные ортогонально оси .

Необходимые условия согласования в угловых точках области , обеспечивающие принадлежность решения к пространству , имеют вид

, , , .

Третья смешанная задача.

в области , (3.10)

, , (3.11)

, . (3.12)

При заданных функциях , , , требуется найти функцию , которая удовлетворяет уравнению (3.10) в области , начальным условиям (3.11) и граничным условиям третьего рода (3.12). ■

Граничные условия (3.12) означают, что на струну в концевых точках действуют заданные упругие силы, направленные ортогонально оси

Необходимые условия согласования в угловых точках области , обеспечивающие принадлежность решения к пространству , определяются соотношениями

, ,

, .

В случае, когда функции , , , граничные условия (3.4), (3.9), (3.12) называются однородными граничными условиями.

Смешанная задача для обобщенного уравнения колебаний струны.

в , (3.13)

, , (3.14)

, . (3.15)

Требуется найти функцию , которая удовлетворяет уравнению (3.13) в области , начальным условиям (3.14) и граничным условиям (3.15). ■

Заметим, что уравнение (3.13) описывает процесс колебаний неоднородной струны, а граничные условия (3.15) содержат граничные условия первого, второго и третьего рода в зависимости от параметров , . Граничные условия (3.4), (3.9), (3.12), (3.15) являются классическими граничными условиями. В прикладных задачах могут возникать граничные условия и других видов. В частности, граничные соотношения могут связывать значения искомой функции на разных концах струны.