Таким образом, получено уравнение Блэка-Шоулса (7.70), где , .

Для винеровского стохастического процесса имеем .

Стратегия 2. Стоимость опциона представим в виде функциональной зависимости

, (7.83)

где марковский процесс удовлетворяет стохастическому уравнению (7.36). Вычислим стохастический дифференциал от зависимости (7.83), используя формулу дифференцирования Ито (7.41), тогда

. (7.84)

Выведем уравнение с частными производными, проводя следующие рассуждения. Пусть в момент времени имеется портфель , содержащий рублей, акций по стоимости каждая и опционов по цене . Таким образом, портфель включает сумму денег и ценные бумаги с общей стоимостью . Создадим новый портфель из портфеля , продав один опцион по стоимости и купив акций по стоимости каждая. Число выберем равным . В результате получим портфель , состоящий из суммы денег и ценных бумаг с общей стоимостью .

Заметим, что стоимость портфелей и одинаковая.

Рассчитаем доходы от портфелей за элементарный промежуток времени . Положив деньги на депозит с безрисковой процентной ставкой , получим доход

.

Определим доход от ценных бумаг портфеля . Для этого достаточно вычислить дифференциалы

, .

Здесь величина считается постоянной, так как число акций не изменяется за короткий промежуток времени.

В результате получим формулы для определения доходов :

,

.

Доходы и должны совпадать, так как предполагается безарбитражный рынок ценных бумаг [12, с. 28]. Действительно, пусть , тогда владелец портфеля в момент времени продает свой портфель и покупает портфель . Через промежуток времени владелец получает доход больший, чем доход от портфеля , что противоречит безарбитражному рынку. Аналогичные рассуждения проводятся и в случае . Таким образом, :

.

Заменив дифференциалы , выражениями (7.36), (7.84), получим уравнение с частными производными:

.

В случае стохастического уравнения для стоимости акций получим уравнение Блэка–Шоулса вида (7.70), где .

Задачи к главе 7

1. Решить задачи Коши для стохастических дифференциальных уравнений:

1.1. , , ;

.

1.2. , , ;

.

2. Решить задачи Коши, сводя их к решению определяющих задач:

2.1. , , ;

.

2.2. , , , ;

, .

2.3. , , ;

, .

3. Решить задачи Коши, сводя их к известным задачам с помощью формулы дифференцирования Ито:

3.1. , , ;

, .

3.2. , , ;

, .

3.3. , , ;

, .

4. Определить стоимость пут-опциона , решая задачу:

4.1. , , ;

, ,

, .

233