Введем специальную функцию

,

где - интеграл вероятностей.

Тогда, возвращаясь к старой временной переменной , получаем

, , (7.75)

где

,

.

Таким образом, получено окончательное выражение для цены опциона (7.75), представленное интегралами вероятностей [12, с. 29].

Для вычисления стоимости пут-опциона необходимо начальное условие (7.71) заменить на начальное условие

и решить соответствующую краевую задачу (7.72).

7.10. Обоснование уравнения Блэка-Шоулса

Выведем уравнение Блэка-Шоулса (7.70) для функции стоимости опциона , используя различные стратегии.

Стратегия 1. В пространстве цен П динамика цены акции со временем описывается стохастическим уравнением (7.1), в котором - стохастический процесс, определяемый постоянными из (5.10). Как было показано, уравнение (7.1) порождает марковский процесс с переходной плотностью (7.24)

, , , (7.76)

определяемой функциями (7.25).

Плотность вероятностей (7.76) интерпретируется следующим образом. Если в момент времени акция стоила рублей, то в последующий момент времени стоимость акции будет случайной величиной, плотность вероятностей которой определяется переходной функцией (7.76).

Зафиксируем цену акции в момент времени и выделим малую окрестность точки

Вероятность события, что цена акции в момент времени попадет в окрестность , определяется выражением (5.4):

(7.77)

Чтобы вывести уравнение Блэка–Шоулса для функции цены опциона , где - цена акции в момент времени , - договорная цена в момент времени , проведем следующие рассуждения.

По всей видимости, цена опциона должна быть тем выше, чем выше исходная стоимость акции , то есть предположим прямую пропорциональную зависимость

. (7.78)

С другой стороны, мы намериваемся приобрести акцию в момент времени по цене . Для осуществления наших планов при уплате опционов выберем следующую стратегию. Чем выше вероятность (7.77) события, что цена акции будет в окрестности требуемой величины , тем большую сумму можно будет уплатить за договор. В результате предположим, что

. (7.79)

Объединив (7.78) и (7.79), получим соотношение

.

Теперь постулируем, что функция удовлетворяет такому же уравнению, что и функция

. (7.80)

Выведем уравнение для функции .

Известно, что переходная функция (5.2) удовлетворяет уравнению Колмогорова (5.65) по первым двум переменным :

. (7.81)

Очевидно, что функция (7.77) также удовлетворяет уравнению (7.81).

Переходя к переменным с учетом (7.25), получаем уравнение

. (7.82)

Использовав соотношение (7.80), вычислим производные

, .

Подставляя вычисленные производные в (7.82), получаем уравнение

.