[Лекция 23]

7.9. Вычисление функции стоимости опциона из уравнения Блэка-Шоулса

В финансовом обеспечении экономической деятельности предприятий важную роль играют производные ценные бумаги, в основе которых лежит определенный актив. В параграфе 7.1 было дано определение одного из основных видов ценных бумаг – опционов. Возникает вопрос о практическом определении стоимости производной ценной бумаги в зависимости от стоимости актива. Опишем метод определения стоимости колл-опциона, являющегося производной ценной бумагой с акциями в основе.

Пусть имеются два момента времени и , где - текущий момент времени, - некоторое фиксированное время в будущем. Пусть - цена акции в момент времени Напомним, что колл-опцион – соглашение в момент времени о том, что покупателю предоставляется право купить акцию с ценой в определенный момент времени в будущем по согласованной договорной цене . При этом необходимо заплатить цену опциона ( - функция цены акции и времени ).

Считается, что цена акции в момент времени является известной величиной, а в последующие моменты времени вплоть до – случайной величиной, которая подчиняется стохастическому уравнению (7.1). Представим это уравнение в форме Ито:

. (7.68)

Этот факт необходимо учитывать при определении функции .

Очевидно, что , так как если , то опцион платить нет смысла, а сразу можно купить акции по цене . Очевидно также, что

. (7.69)

Так как функция зависит от параметров , , то в развернутом виде .

Ф. Блэк и М. Шоулс [12] для определения функции предложили параболическое уравнение с частными производными. Это уравнение имеет вид

, (7.70)

где - волатильность акций; - безрисковая процентная ставка.

Очевидно, если моменты времени и совпадают , тогда при .

В результате

(7.71)

Добавив граничное условие (7.69) и начальное условие (7.71) к уравнению (7.70), получим задачу:

в ,

, . (7.72)

Вводя новую временную переменную , преобразуем задачу (7.72) к виду (7.17)–(7.19) с коэффициентами , , :

в ,

, . (7.73)

Используя формулу (7.22), представим решение задачи (7.73) в виде

, (7.74)

где

, ,

В интеграле (7.74) переменную интегрирования заменим на , тогда

Во втором интеграле произведем замену , тогда

.