4.7. Решение задачи Дирихле для круга методом разделения переменных

На плоскости с координатамирассмотрим круградиуса, описанный вокруг начала координат. Граница круга – окружность(см. рис.4.4). Для круга сформулируем внутреннюю задачу Дирихле для уравнения Лапласа [1, с. 309]:

в области , (4.34)

, (4.35)

где- заданная функция на окружности .

Требуется найти решение .

Рис. 4.4

В полярных координатах :, задача (4.34), (4.35) запишется в виде

, (4.36)

(4.37)

Задачу (4.36), (4.37) решим методом разделения переменных в полярных координатах. Согласно методу разделения переменных, найдем все решения уравнения Лапласа (4.36) вида

. (4.38)

Подставив (4.38) в уравнение (4.36), получим равенство

Разделим это равенство на , отделяя функции зависящие оти функции зависящие от, тогда

.

Выражение слева зависит только от , а выражение справа- только от , поэтому это равенство имеет место тогда и только тогда, когда эти выражения являются постоянными, то есть

где - постоянная разделения.

В результате получим два обыкновенных дифференциальных уравнения:

,

(4.39)

.

Рассмотрим случай, когда . Общие решения уравнений (4.39) определяются формулами

,

(4.40)

,

где - произвольные постоянные.

Рассмотрим случай, когдаУравнения (4.39) примут вид

Запишем общие решения этих уравнений:

, , (4.41)

где - произвольные постоянные.

После подстановки функций (4.40), (4.41) в (4.38) получим частные решения уравнения Лапласа в полярных координатах:

,

(4.42)

.

По смыслу задачи (4.36), (4.37) решение должно быть периодическим по углус периодом, то есть. Условие периодичности для функций (4.42) будет выполнено, если.

В результате получим последовательность частных периодических решений уравнения (4.36):

,

(4.43)

.

Образуем общее решение уравнения (4.36) в виде линейной комбинации частных решений (4.43):

.

По смыслу задачи решение должно быть ограниченным в центре круга. В связи с этим необходимо положить

В результате получим представление решения задачи (4.36), (4.37) в виде разложения в ряд

. (4.44)

Неизвестные коэффициенты определим из граничного

условия (4.37). Подставляя (4.44) в (4.37), получим

. (4.45)

Разложим функцию в ряд Фурье

, (4.46)

где

(4.47)

Приравнивая ряды (4.45) и (4.46), вычисляем коэффициенты .

Подставив коэффициенты в разложение (4.44), получим решение исходной задачи Дирихле (4.34), (4.35):

. (4.48)

Можно показать, что если граничная функция и, то ряд (4.48) равномерно сходится и.

Если подставить интегралы (4.47) в (4.48) и просуммировать ряды, то получим решение задачи Дирихле для круга в виде интеграла

,

называемого интегралом Пуассона.

Аналогично показывается, что решение внешней задачи Дирихле для круга в области определяется рядом

.