4.6. Задача Неймана для уравнения Пуассона

Рассмотрим ограниченную область с границей. Для областипоставим краевую задачу для уравнения Пуассона, когда на поверхностизадана производная функции.

Внутренняя задача Неймана.

в ,, (4.25)

, , (4.26)

где - внешняя единичная нормаль к поверхности в точке.

Требуется найти функцию , которая удовлетворяет уравнению (4.25) в областии граничному условию (4.26) на граничной поверхностиобласти. ■

Задача Неймана называется также второй краевой задачей.

Теорема 4.3. Пусть функция является решением задачи (4.25), (4.26), тогда

, (4.27)

то есть соотношение (4.27) является необходимым условием разрешимости задачи Неймана (4.25), (4.26).

Доказательство. Воспользуемся первой формулой Грина (4.3), рассмотрев в качестве функции решение задачи (4.25), (4.26) и положив. В результате

Учитывая равенства (4.25), (4.26), получаем требуемое соотношение (4.27). ■

Теорема 4.4. Если существует решениевнутренней задачи Неймана (4.25), (4.26), тогда оно единственно с точностью до постоянного слагаемого.

Доказательство. Легко проверить, что если решение задачи (4.25), (4.26), то,, также решение. Покажем, что других решений нет. Предположим, что существуют два линейно независимых решения. Образуем разностьДля функциивыполнены условия:

в области ,

. (4.28)

Воспользуемся третьей формулой Грина (4.5), в которой положим , тогда, учитывая условия (4.28), получаем

Следовательно, в области. Заключаем, чтотогда. Таким образом. ■

Доказанные теоремы показывают, что внутренняя задача Неймана поставлена некорректно, то есть не для всех непрерывных граничных функций из условия (4.26) существует решение задачи, а если существует, то оно не единственное.

Внешняя задача Неймана в .

в области , (4.29)

, (4.30)

при . ■ (4.31)

Теорема 4.5. Если существует решение внешней задачи Неймана (4.29)-(4.31), тогда оно единственно в пространстве [1, с. 307].

Доказательство. Пусть существуют два решения из пространства. Образуем разность. Очевидно, что для функциивыполнены условия:

в ,

(4.32)

,

при . (4.33)

Воспользуемся третьей формулой Грина (4.5):

,

которая справедлива для бесконечной области , если гармоническая функцияравномерно стремится к нулю на бесконечности, то есть является регулярной на бесконечности [1, с. 301].

Учитывая (4.32), получим

.

Как и в предыдущей теореме, следует . В силу условия (4.33). Следовательно,, то естьв области. Единственность доказана. ■