[Лекция 14]

4.5. Задача Дирихле для уравнения Пуассона

Изучим еще один класс задач, называемых краевыми задачами для эллиптических уравнений. Сначала обратимся к общей постановке таких задач. Рассмотрим ограниченную связную область с граничной поверхностью, охватывающей область(см. рис. 4.3). Пусть для определенности. В областизададим эллиптическое уравнение второго порядка с достаточно гладкими коэффициентами:

, (4.16)

где .

Потребуем, чтобы искомая функция на границепринимала заданные значения, то есть

,

где - заданная функция на поверхности

Рис. 4.3

Задача Дирихле.

в области , (4.17)

, (4.18)

где – ограниченная область.

Требуется найти функцию , которая удовлетворяет уравнению (4.17) в областии граничному условию (4.18) на граничной поверхности. Задача Дирихле называется такжепервой краевой задачей. ■

В дальнейшем рассмотрим частный случай задачи (4.17), (4.18), когда уравнение (4.17) является уравнением Пуассона в трехмерном пространстве с координатами, а область.

Внутренняя задача Дирихле.

в области ,(4.19)

, (4.20)

где – ограниченная область.

Решение называется классическим решением задачи (4.19), (4.20). ■

Возникает естественный вопрос о корректности задачи (4.19), (4.20), состоящей в следующем: требуется выделить пространство граничных функций, для которых решение задачи существует, единственно в пространствеи непрерывно зависит от граничных функций. Наиболее просто решаются вопросы о единственности и непрерывной зависимости.

Теорема 4.1. Если решение задачи Дирихле (4.19), (4.20) существует, тогда оно единственно в пространстве

Доказательство. Пусть существуют два решения Образуем функциюОчевидно, что выполнены условия:

в области ,

. (4.21)

Так как функция гармоническая в области, то для нее выполнен принцип максимума и минимума (см. свойство 4.4). Учитывая равенство (4.21), получаем,. Следуетв, значит. ■

Теорема 4.2. Решение задачи Дирихле (4.19), (4.20), в предположении его существования в пространстве , непрерывно зависит от граничных функций.

Доказательство. Рассмотрим две вспомогательные задачи (4.19), (4.20) с различными граничными функциями :

в области ,;

Пусть функции мало различаются, то естьдля. Образуем разность, для которой выполнены условия

в ,

,

где .

Функция гармоническая, поэтому воспользуемся следствием 4.4. Из условияследуетпри. Таким образом, понайдено, что как только,, тогдапри. Непрерывная зависимость доказана. ■

Теорема Шаудера. Пусть в уравнении (4.16) коэффициенты , граничная поверхность, граничная функция. Пусть выполнено неравенство равномерной эллиптичности уравнения (4.17):

,

тогда существует единственное решение задачи (4.17), (4.18) . ■

Без доказательства [3, т. 4, ч. 2, с.435].

Сформулированные теоремы позволяют заключить, что в соответствующих пространствах изадача Дирихле (4.19), (4.20) для уравнения Пуассона поставлена корректно.

Рассмотрим область\, внешнюю по отношению к ограниченной области. Для бесконечной областипоставим задачу Дирихле для уравнения Пуассона. В областирешение уравнения Пуассона может неограниченно возрастать на бесконечности, но потенциал, описывающий электрическое поле зарядов, расположенных в окрестности границы, не может стремиться к бесконечности. Поэтому из физических соображений необходимо наложить условиепри.

Внешняя задача Дирихле в .

в области , (4.22)

, (4.23)

при . (4.24)

Требуется найти функцию , которая удовлетворяет уравнению (4.22) в области, граничному условию (4.23) и равномерно стремится к нулю на бесконечности. ■

Заметим, что для задачи (4.22)-(4.24) имеют место теоремы единственности и непрерывной зависимости [1, с. 303]. Если опустить условие на бесконечности (4.24), тогда задача может иметь неединственное решение.

Для внешней задачи Дирихле на плоскости условие (4.24) необходимо заменить на условие ограниченности решенияв области.