5.6. Определяющие задачи для стохастических процессов

Фундаментальное решение уравнения Колмогорова (5.66) опреде-ляется как обобщенное решение уравнения

, (5.70)

где правая часть уравнения – это - функция Дирака в (см. (2.81)).

Заметим, что уравнение (5.70) рассматривается при , а уравнение (5.66) – при .

Рассмотрим фундаментальное решение уравнения (5.70). Можно показать, что это решение совпадает с переходной фун-кцией плотности вероятностей, то есть при . В случае постоянных коэффициентов фундамен-тальное решение определяется формулой (5.21). Фундаментальное решение для одномерного уравнения Колмогорова построено в параграфе 2.9.

Утверждение 5.1. Для фундаментального решения выполнено соотношение Маркова-Колмогорова-Чепмена (5.19).

Доказательство. Рассмотрим вспомогательную задачу Коши для уравнения Колмогорова:

; .

На основании формул [9, с. 229] решение этой задачи выражается через фундаментальное решение:

. (5.71)

Рассмотрим вспомогательную функцию

, (5.72)

и задачу Коши

; .

Решение этой задачи определяется формулой

(5.73)

В силу единственности решения задачи Коши приравняем выра-жения (5.71) и (5.73), тогда с учетом (5.72) получим

В силу произвольности функции опустим интеграл по :

.

В результате получено требуемое тождество (5.19) для функции . ■

Утверждение 5.1 означает, что фундаментальное решение уравнения Колмогорова (5.70) может быть принято в качестве переходной функции плотности вероятностей стохастического процесса. Вообще говоря, уравнение (5.70) имеет бесчисленное множество решений. Для выделения единственного решения необходимо использовать дополнительные условия. С точки зрения обобщенных функций свойство (5.50) означает, что переходная функция плотности вероятностей сходится к - функции Дирака (2.71), то есть .

Это условие запишем в виде начального условия [8, с. 299]:

. (5.74)

Добавим начальное условие (5.74) к уравнению (5.70), получим следующую задачу Коши.

Определяющая задача Коши. Требуется определить условную плотность вероятностей , для которой

,

, (5.75)

где оператор определен в (5.66). При этом должно выполняться условие на бесконечности при , которое обеспечивает условие нормировки (5.18). ■

Задача Коши (5.75) является определяющей дифференциальной задачей для марковского стохастического процесса при условии существования неотрицательного решения задачи.

Заметим, что задача Коши (5.75) определяет стохастический процесс на всей плоскости . В случае конечной плоской области , где – множество элементарных событий стохастического процесса, задача (5.75) должна быть видоизменена. Вместо задачи Коши для уравнения Колмогорова рассмотрим смешанную задачу

третьего рода, определяющую стохастический процесс на области .

Определяющая смешанная задача. Требуется определить условную плотность вероятностей , для которой

,

,

, (5.76)

где – контур, ограничивающий область ; – внешняя единичная нормаль к контуру в точке ; – граничный векторный дифференциальный оператор, задаваемый выражением:

.■(5.77)

Смешанная задача (5.76) является обобщением смешанных задач, сформулированных в параграфе 3.3 для уравнения теплопроводности. Граничное условие (5.76) означает, что поток вероятностей через контур равен нулю. Это приводит к выполнению условия нормировки

.

Граничное условие (5.76) будет получено в параграфе 6.6.

В одномерном случае на основании уравнения Колмогорова (5.56) и условия (5.32) имеем следующие определяющие задачи.

Определяющая задача Коши.

,

, при . ■ (5.78)

Определяющая смешанная задача.

,

,

. ■ (5.79)

Для уравнения (5.68) также могут быть поставлены определяющие задачи, аналогичные задачам (5.75), (5.76).