[Лекция 17]

5.5. Уравнения Колмогорова для стохастических процессов

Одномерные уравнения Колмогорова. Рассмотрим марковский стохастический процесс c переходной функцией плотности вероятностей . Выведем два уравнения с частными производными, которым удовлетворяет переходная функция по двум парам переменных, соответственно по и по . Вывод уравнений оформим в виде двух теорем.

Теорема 5.1. Пусть:

1. для переходной функции плотности вероятностей вы-

полнены свойства А;

2. плотность при фиксированных и ограниче-

на, то есть

, (5.53)

где не зависит от и ;

3. функции

, (5.54)

непрерывны, как функции двух переменных и на множестве ;

4. производные

, (5.55)

непрерывны на множестве .

Тогда плотность удовлетворяет параболическому уравнению с частными производными по переменным , на :

. (5.56)

Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию

, (5.57)

где - произвольная финитная функция,

Вычислим производную по переменной функции (5.57), производя дифференцирование под знаком интеграла на основании непрерывности функций (5.54) на любом прямоугольнике [6, с. 522].

В результате

. (5.58)

Вычислим производную по переменной другим способом, используя определение производной и тождество (5.5):

.

Тогда

(5.59)

В повторном интеграле (5.59) переставим порядок интегралов. Это, возможно, так как интеграл

(5.60)

равномерно сходится на множестве . Действительно, используя признак Вейерштрасса и неравенства (5.24), (5.53), оценим интеграл

.

В результате

. (5.61)

В формуле (5.61) перейдем к пределу под знаком несобственного интеграла [6, с. 534]. Это возможно, так как:

1. выражение под знаком интеграла стремится при к фун-кции

(5.62)

равномерно на множестве в силу леммы 5.1, формула (5.25);

2. интеграл

, (5.63)

где

сходится равномерно на множестве . Действительно, из определения предела, для такое, что если (не зависит от ), тогда

,

откуда

.

Функция (5.50) ограничена на множестве то есть , так как - финитная функция. Получим оценку

,

где не зависит от и .

Оценим интеграл (5.63), используя признак Вейерштрасса равномерной сходимости интеграла:

.

В результате формула (5.61) преобразуется к виду

Интегрируя по частям, получаем

. (5.64)

Приравняем формулы (5.58) и (5.64), тогда

Опуская интеграл в силу произвольности финитной функции и непрерывности подынтегрального выражения, получим требуемое уравнение (5.56). ■

Теорема 5.2. Пусть:

1) для переходной функции плотности вероятностей выполнены свойства А;

2) при фиксированном и функции , ; , , непрерывны и ограничены на множестве .

Тогда плотность удовлетворяет уравнению с частными производными по переменным на множестве :

. (5.65)

Доказательство приведено в [8, с. 280]. ■

Уравнения (5.56), (5.65) называются уравнениями Колмогорова.

Двухмерные уравнения Колмогорова. В случае двухмерных сто-хастических процессов, удовлетворяющих условиям (5.20), переход-ная функция плотности вероятностей удовлетворяет следующей паре уравнений Колмогорова [2,с. 144]:

в , (5.66)

где

• эллиптический оператор, ;

в , (5.67)

где .

Многомерные уравнения Колмогорова. В случае многомерных стохастических процессов, удовлетворяющих условиям (5.23), пере-ходная функция плотности вероятностей удовлетворяет следующей паре уравнений Колмогорова [8, с. 280]:

, ; (5.68)

, . (5.69)