8. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ В ТЕОРИИ ПОТРЕБЛЕНИЯ

При планировании производства товаров важным является исследование спроса у населения на эти товары и механизмов стимулирования к потреблению товаров. Очевидно, что уровень потребления товаров зависит от платежеспособности населения, от стоимости товара, и от важности товара для обеспечения жизнедеятельности человека и качества его жизни. Большие масштабы потребления товаров, особенно продуктов питания, открывают возможность использовать при моделировании континуальные математические модели, что в свою очередь приводит к использованию уравнений с частными производными, в частности уравнений Слуцкого.

[Лекция 24]

8.1. Функция полезности на товарном пространстве

Рассмотрим потребителя, который приобретает видов товаров за единицу времени. Обозначим количество приобретенного -го товара за единицу времени через , . Пусть для определенности физическая размерность , где за единицу времени выбран день. На -мерном евклидовом пространстве выделим множество точек R. Точка R обозначает потребителя, а координата точки означает количество граммов -го товара приобретенного потребителем за один день. Область R будем называть товарным пространством. Пусть - цена товара -го вида, . Потребитель затрачивает рублей за единицу времени на приобретение товаров, . В результате

. (8.1)

Перед тем как закупить товары, потребитель должен оценить значимость каждого товара и необходимость его приобретения, описав значимость и необходимость количественно. Для этого на пространстве R определим функцию полезности , : R. - полезность набора товаров , приобретенного потребителем. На функцию накладываются условия:

1) - строго выпуклая вверх функция;

2) - дважды непрерывно дифференцируемая функция,

R;

3) - монотонно возрастает по каждой переменной ,

;

4) выполнены следующие предельные соотношения:

.

Построим для функции полезности матрицу Гессе:

. (8.2)

Матрица отрицательно определена и невырождена в каждой точке R.

Возможны различные варианты построения функции полезности в зависимости от того, что мы понимаем под полезностью. Рассмотрим наиболее простой вариант, построив функцию полезности для каждого товара в отдельности. Определим базовую функцию полезности , которая удовлетворяет следующим свойствам:

, , , ; (8.3)

, . (8.4)

Рис. 7.1

Свойства (8.3) означают, что функция монотонно возрастает, является выпуклой вверх и имеет две асимптоты , (см. рис 7.1). Второе свойство (8.4) означает, что при увеличение потребления продукта практически не увеличивает полезность. Потребление же продукта в малых количествах, то есть при , является отрицательным фактором для потребителя.

Определим функцию полезности , задав параметры потребления для -го товара. Если , то это означает, что -й товар полезнее для потребителя, чем -й товар. Выберем конкретную базовую функцию , для которой . Выразим функции полезности через базовую функцию , воспользовавшись формулой

, (8.5)

где .

Из последних двух соотношений вычислим постоянные , выразив их через заданные величины . Очевидно, что

, .

Функцию полезности для товаров определим как сумму функций (8.5):

. (8.6)

В дальнейшем в качестве товаров выберем продукты питания (молоко, мясо, рыбу и т. д.) и построим функцию полезности, основываясь на витаминном составе продуктов питания и на функции полезности (8.6) для витаминов. Будем рассматривать основные витамины , которые потребитель потребляет в течение дня. Физическая размерность , что означает количество граммов -го витамина, потребляемого за день. Основываясь на принципах построения функции полезности (8.6), построим функцию полезности для витаминов:

. (8.7)

В течение дня потребитель закупает продукты питания , которые содержат витамины . Пусть в одном грамме -го продукта содержится граммов витаминов -го вида, тогда продукт питания содержит граммов -го витамина. Суммируя по всем видам продуктов питания, получаем количество витаминов -го вида, содержащегося во всех закупленных продуктах :

.

Подставив в формулу (8.7), получим функцию полезности для продуктов питания:

. (8.8)

Возможны и другие варианты построения функции полезности.

8.2. Уравнение Слуцкого в теории потребления

Изучим поведение потребителя, который намеревается в течение дня закупить товары в количестве , , по цене . На закупку товаров потребитель выделяет рублей. Указанные величины должны быть связаны соотношением (8.1). Очевидно, что на сумму товары могут быть приобретены неоднозначно. Поэтому из всех вариантов закупок потребитель должен выбрать наилучший. Для этого покупатель должен выбрать стратегию закупок, то есть функцию полезности в виде (8.6), или в виде (8.8), или в любом другом виде. При наличии функции полезности поставим задачу об оптимальном приобретении товаров [17, с. 98].

Задача нелинейного программирования.

R. (8.9)

Требуется найти вектор R, для которого и выполнено условие (8.1). ■

В силу условий на функцию задача (8.9) всегда имеет единственное решение при любых параметрах .

Найдем решение, построив функцию Лагранжа:

R .

Вектор определяется как решение системы уравнений

, относительно :

(8.10)

На рынке товаров могут складываться различные ситуации. В частности, цена одного из товаров может изменяться. Возникает вопрос, как это будет влиять на оптимальную закупку товаров.

Предположим, что цена товара под номером изменяется, величина также является переменной, а цены - постоянные. Рассматривая решение системы (8.10) как функции, зависящие от переменных , обозначим

, ,

где R в силу теоремы о неявной функции.

Запишем систему (8.10)) в новых обозначениях:

,

. (8.11)

Соотношения (8.11) продифференцируем по переменной , тогда

,

, (8.12)

.

Систему (8.12) запишем в матричном виде:

(8.13)

где матрица размерности имеет вид

, , - вектор-строка;

, - векторы размерности .

К уравнению (8.13) применим обратную матрицу , которая вычисляется аналитически, тогда

, (8.14)

где ; ;

- скалярная величина;

- обратная матрица к матрице Гессе (8.2).

Отбросив первое уравнение системы (8.14), получим

, (8.15)

где - последний столбец матрицы .

Аналогично, дифференцируя соотношения (8.11) по , придем к системе уравнений

, .

Отбрасывая первое уравнение, получаем

. (8.16)

Подстановка (8.16) в (8.15) и исключение с помощью последнего уравнения (8.11) приводит к системе уравнений с частными производными первого порядка с неизвестными функциями :

. (8.17)

Уравнение (8.17) называется уравнением Слуцкого с неизвестной вектор-функцией .

Вычислим правую часть, тогда

, , (8.18)

где

.

Система (8.18) является нелинейной гиперболической в области .

Среди решений уравнений (8.18) содержится оптимальное решение, которое означает оптимальную закупку товаров потребителем при цене и затратах . Для выделения этого решения к уравнениям (8.18) необходимо добавить начальные условия при . В качестве начальных условий выберем первых соотношений (8.10) на линии .

В результате получим задачу Коши

в области ,

, . (8.19)

Заметим, если удается разрешить уравнения (8.19) относительно , тогда условия (8.19) преобразуются в начальные условия

.

242