Учебник по УМФ / Учебник по УМФ / nl19

[Лекция 19]

3. Моделирование денежных и материальных накоплений семьи с помощью системы дифференциальных стохастических уравнений

В параграфе 6.1 для функции , которая означает денежные накопления семьи, было получено стохастическое дифференциальное уравнение (6.13):

, (6.31)

где

, (6.32)

величины , , определяются формулами (6.4), (6.7), (6.8).

Усложним модель, введя дополнительную величину, которая также характеризует экономическую деятельность семьи. Пусть – материальные накопления семьи в момент времени , то есть стоимость в рублях материальных ценностей, которые имеет семья в данный момент времени в личной собственности (физическая размерность ). Сюда входит реальная стоимость одежды, предметов быта, автомобиля, дачи и т. д. Отрицательное значение величины означает материальный долг семьи.

Естественно, что в большей степени скорость изменения материальных накоплений семьи определяется детерминированными денежными расходами (физическая размерность ). Изменение детерминированных материальных накоплений семьи в общем случае выразим уравнением

, (6.33)

где – приобретенное имущество в рублях за месяц ; – утраченное имущество в рублях за месяц .

В реальности имущество может утрачиваться также за счет случайных явлений (пожар, случайное повреждение и т. д.) и слу-чайно приобретаться (дарение, премия). В связи с этим уравнение (6.33) запишем в дифференциалах и преобразуем в стохастическое уравнение, добавив стохастический дифференциал. Получим

, (6.34)

где ; – стохастический дифференциал; – случайные материальные накопления к моменту времени ; –случайные материальные накопления к моменту времени .

Очевидно, что денежные и материальные накопления находятся во взаимной зависимости. В частности, имущество может быть использовано для получения дополнительных денежных доходов. Если материальные накопления становятся больше некоторого , тогда часть имущества может быть сдана в аренду под процентов в месяц ( размерность ). В этом случае к функции (6.32) добавляется слагаемое

, (6.35)

где , .

В результате уравнение (6.31) принимает вид

, (6.36)

где .

1. Вычислим . Имущество приобретается в основном за счет денежных расходов и , определяемых формулами (6.7), (6.8). Расходы не учитываются, так как они в большей степени используются на приобретение продуктов питания, на коммунальные услуги и транспорт. Поэтому

. (6.37)

Первое слагаемое в формуле (6.37) означает реальную стои-мость имущества средней роскоши, приобретаемого семьей ежемесяч-но. Второе слагаемое означает реальную стоимость элитарных това-ров, приобретаемых ежемесячно. Безразмерные коэффициенты и задают части от израсходованных денег, кото-рые определяют реальную стоимость товара. Оставшаяся часть денег расходуется на торговую наценку, доставку товара и так далее, то есть не определяет материальные накопления семьи.

2. Вычислим . Имущество в основном утрачивается за счет амортизации, то есть за счет изнашивания, поэтому полагаем

,

где , ; – процент изнашивания в месяц.

В результате

.

Таким образом, получена система стохастических дифференциаль-ных уравнений (6.34),(6.36):

(6.38)

Рассмотрим двухмерное евклидово пространство , координаты в котором измеряются в рублях. На этом пространстве семья условно изображается в виде точки с координатами : -координата точки означает денежные накопления семьи, -координата – материальные накопления. Со временем точка с радиус-вектором перемещается на плоскости, образуя траекторию (см. рис. 6.5).

Рис. 6.5

Такое пространство будем называть пространством денежных и материальных накоплений N.

Запишем систему (6.38) в векторном виде

, (6.39)

где , ; – двухмерный стохастический процесс.

Двухмерная случайная величина описывает случайное выпадение точки (семьи) на плоскость N, то есть случайные денежные и материальные накопления семьи в момент времени .

6.4. Двухмерное параболическое уравнение

денежных и материальных накоплений ансамбля семей

Рассмотрим ансамбль из семей, экономическая деятельность которых подчиняется одному и тому же векторному стохастическому уравнению (6.39). В качестве двухмерного стохастического процесса будем рассматривать двухмерный марковский процесс с пере-ходной плотностью вероятностей (5.16).

Понятно, что стартовые условия семей различные. В связи с этим семьи некоторым образом распределены на пространстве N денежных и материальных накоплений.

Рис. 6.6

Введем функцию плотности распределения семей в пространстве N. Пусть – элементарная площадка вокруг точки , а величина – число семей на множестве (см. рис. 6.6). Тогда

(6.40)

где – площадь области ; – функция плотности распреде-ления семей на ; .

В дальнейшем для функции будет выведено уравнение с част-ными производными. Для этого рассмотрим произвольную область (см. рис. 6.7), тогда

(6.41)

– число семей с денежными и материальными накоплениями в пределах множества в момент времени .

Рис. 6.7

Суммарное число семей на пространстве N определяется соотно-шением

.

Со временем накопления семей меняются, поэтому точки, обозначающие семьи, перемещаются на плоскости. За промежуток времени часть семей попадет в область , часть выйдет из этой области.

Запишем уравнение баланса семей на множестве за интервал времени от до :

, (6.42)

где – изменение числа семей на множестве за время от до ; – число семей, которые попадают на множество за время от до за счет детерминированных доходов и расходов; – попадают за счет случайных доходов и расходов; – число семей, которые попадают на область за время от до за счет эмиграции. Заметим, если величины отрицательные, то это означает, что семьи покидают область .

Вычислим . Используя (6.41), запишем

. (6.43)

Вычислим . Для этого разобьем контур на элементарные дуги . Пусть , – внутренняя единичная нормаль в точке (см. рис. 6.8).

Рис. 6.8

В уравнении (6.39) вектор означает скорость движения семей на в окрестности точки в момент времени . Спроектируем скорость на нормаль и умножим на – длину элементарной дуги, тогда величина

(6.44)

означает площадь, которая проникает в область через дугу за единицу времени, так как .

Умножив (6.44) на плотность семей , получим

(6.45)

– число семей, которые попадают через дугу внутрь области за единицу времени.

Суммируя величины (6.45) по всем дугам на границе , получаем интегральную сумму:

– число семей, которые попадут в область через границу за единицу времени в момент времени .

Интегрируя по от до , определяем :

. (6.46)

Перейдем в формуле (6.46) от интегрирования вдоль контура к интегрированию по площади , используя формулу Остроградского–Гаусса:

,

где – внешняя нормаль.

В результате получим окончательное выражение:

. (6.47)

Вычислим . Рассмотрим два момента времени и и две плоскости , изображающие пространства накоплений в разные моменты времени и . Пусть внешняя область к .

Вычислим число семей, которые попадут на область к моменту времени из области , рассмотренной в момент времени , за счет случайных накоплений. Для этого область разобьем на элементарные площадки (см. рис. 6.9). Пусть . На элементарной площадке находится семей (в момент ). Эти семьи через промежуток времени к моменту времени распределятся по всей плоскости с плотностью вероятностей . Интеграл

(6.48)

о значает вероятность того, что семья из точки попадет на область к моменту времени .

Рис. 6.9

Умножив число семей на (6.48), получим

(6.49)

– число семей, которые переместятся из площадки на область .

Суммируя величиины (6.49) по всем площадкам , получаем интегральную сумму:

.

Величина означает количество семей, которое попадет из мно-жества на множество за промежуток времени . Теперь вычислим число семей , которое перейдет из множества в момент на множество в момент времени .

Очевидно, что

.

В результате прирост семей за время на множестве опреде-ляется величиной

.

Добавим и вычтем интеграл , тогда

. (6.50)

Использовав лемму 5.4, заменим данную величину (6.50) эквива-лентной величиной при :

, (6.51)

где дифференциальный оператор определяется выражением (5.52).

Разбивая отрезок на элементарные интервалы , просум-мируем величины (6.51) по всем интервалам , тогда

. (6.52)

Вычислим . Для этого введем вспомогательную функцию , – число семей, которые перемещаются из других ансамблей семей на область единичной площади пространства N за единичный интервал времени в окрестности и .

Очевидно, что

. (6.53)

Подставив (6.43), (6.47), (6.52), (6.53) в уравнение баланса (6.42), получим

.

Опустим интегралы в силу теоремы о среднем, стягивая отрезки в точку , тогда

.

Запишем правую часть в операторном виде и получим

, (6.54)

где – дифференциальный оператор второго порядка по перемен-ным :

. (6.55)

Если дискриминант , то оператор – эллипти-ческий по переменным , а уравнение (6.54) – параболическое по переменным . Возможны случаи, когда , то есть оператор – гиперболический по переменным ; при оператор – параболический.