5.2. Многомерные марковские стохастические процессы

Двухмерные стохастические процессы. Рассмотрим процесс денежных и материальных накоплений семьи. Пусть конкретная семья к моменту времени накопила общую сумму денег и накопила материальные ценности, которые оценим в рублей. Таким образом, имеем физические размерности: .

Введем к рассмотрению двухмерное пространство , которое изобразим в виде плоскости . Каждую семью будем изображать на плоскости точкой с координатами (см. рис. 5.3). Координата означает денежные накопления, а координата - материальные накопления семьи. Пространство с такой физической интерпретацией будем называть пространством денежных и материальных накоплений и обозначим через N.

Рис. 5.3

Помимо гарантированных накоплений семья может иметь случайные денежные и случайные материальные накопления, которые будем рассматривать как двухмерную случайную величину . Двухмерная случайная величина описывает случайное выпадение точки (семьи) на плоскость N, то есть описывает случайные денежные и материальные накопления семьи в момент времени . Зададим эту величину с помощью плотности вероятностей , которая удовлетворяет условиям:

- определена при ,

,

. (5.15)

Введем еще три параметра и , которые описывают предысторию процесса, то есть будем считать, что

, (5.16)

где ; ; ; ; .

По переменным и функция (5.16) является плотностью вероятностей в текущий момент времени . Параметры и задают состояние системы в предыдущий момент времени .

Дадим интерпретацию функции (5.16) в соответствии с исследуемым объектом. Для этого рассмотрим интеграл по области :

, (5.17)

который означает следующее. Если в предыдущий момент времени семья имела денежные и материальные накопления , тогда величина (5.17) задает вероятность того, что ко времени семья будет иметь накопления в пределах области , то есть величина (5.17) означает условную вероятность.

Плотность (5.16) удовлетворяет условиям (5.15). В частности,

, , (5.18)

Стохастический процесс (5.16) называется марковским, если выполнено условие Маркова-Колмогорова-Чепмена:

, . (5.19)

Наложим на марковский процесс (5.16) дополнительные условия сильной непрерывности, которые обобщают условия (5.10) в одномерном случае. Процесс сильно непрерывен, если

,

,

,

,

,

, (5.20)

где - круг радиуса , описанный вокруг точки на плоскости , то есть , - любое; при .

Пример 5.2. В случае, когда в соотношениях (5.20) величины - постоянные, переходная функция плотности вероятностей двухмерного марковского стохастического процесса определяется выражением

, (5.21)

г де , , .

Многомерные стохастические процессы. Марковский стохастический процесс в -мерном евклидовом пространстве определим с помощью переходной функции плотности вероятностей , где , .

Плотность удовлетворяет условиям, обобщающим условия (5.15), (5.18)-(5.20) двухмерного случая. Имеем:

условия нормировки

;

тождество Маркова-Колмогорова-Чепмена

, (5.22)

где ;

условия сильной непрерывности

,

,

, (5.23)

где -шар радиуса в , описанный вокруг точки .

148