5. Дифференциальные модели для стохастических процессов

В предыдущих главах были рассмотрены гиперболические, параболические и эллиптические уравнения с частными производными, поставлены основные краевые задачи для них и изучены некоторые свойства решений. Возникает вопрос о приложении разработанной теории в других областях знаний. В рассматриваемой главе параболические уравнения применяются для описания случайных процессов, исследуются уравнения Колмогорова для марковских процессов.

[Лекция15]

5.1. Одномерные марковские стохастические процессы

Будем рассматривать стохастические процессы, придавая случайным величинам определенный физический смысл. Обратимся к примеру денежных накоплений. Пусть конкретная семья к моменту времени накопила общую сумму денег, которую обозначим через . В качестве физической размерности времени выберем месяц , а величину будем измерять в рублях , то есть ,

Введем к рассмотрению одномерное пространство , которое изобразим в виде оси . Каждую семью будем изображать на точкой, координата которой означает денежные накопления семьи. Пространство с такой физической интерпретацией будем называть пространством денежных накоплений и обозначим N. Отрицательные значения величины будем интерпретировать как долг семьи.

Помимо гарантированных накоплений, семья может иметь случайные накопления, которые будем рассматривать как одномерную случайную величину

Представим одномерную случайную величину на пространстве N следующим образом. Пусть некоторый прибор выбрасывает точку на ось случайным образом, - координата точки, измеренная в рублях. Прибор выбрасывает точку случайно, но по некоторому внутреннему правилу, то есть в одних местах точка оказывается чаще, чем в других. Координата точки , выбрасываемой данным прибором случайным образом, называется случайной величиной и обозначается Координата точки еще не описывает случайную величину, так как необходимо задать густоту точек в разных областях прямой . Для задания случайной величины введем функцию плотности распределения вероятностей (плотность вероятностей ) со следующими свойствами:

-определена при ,

,

. (5.1)

Размерность плотности в пространстве накоплений .

Будем в дальнейшем рассматривать случай, когда - достаточно гладкая функция.

Таким образом, случайная величина определена, если задана плотность вероятностей . Будем говорить, что прибор выбрасывает случайную величину с плотностью вероятностей .

Функция имеет следующий смысл. Величина означает вероятность того, что случайная величина попадает на отрезок , то есть примет значение в пределах .

В реальности прибор с течением времени меняет свои свойства, то есть с течением времени меняется плотность вероятностей. Для выражения этого факта запишем .

В этом случае мы имеем стохастический процесс , то есть в каждый момент времени мы имеем случайную величину со своей плотностью.

Введем еще два параметра и , которые описывают предысторию процесса, то есть будем считать, что

, , (5.2)

где означает значение случайной величины , которое она приняла в предыдущий момент времени ; означает значение случайной величины , которое она примет в последующий момент времени Функция (5.2) называется переходной функцией плотности вероятностей или условной плотностью вероятностей стохастического процесса

Раскроем смысл функции (5.2). По переменной функция (5.2) является плотностью вероятностей со свойствами (5.1). В частности,

, . (5.3)

При этом интеграл

(5.4)

о значает вероятность того, что случайная величина , которая в момент времени имела значение , в момент времени попадет на отрезок , то есть примет значение в пределах (см. рис. 5.1). Если семья в момент времени имела случайные накопления (руб.) ( - фиксированное значение), то вероятность того, что семья ко времени будет иметь накопления в пределах отрезка , определяется выражением (5.4). В дальнейшем будем считать, что (5.2) достаточно гладкая функция четырех переменных.

Рис. 5.1

Определение 5.1. Стохастический процесс называется марковским, если для любых выполнено тождество Маркова- Колмогорова-Чепмена:

(5.5)

Это соотношение вытекает из формулы полной вероятности.

Раскроем смысл равенства (5.5). Пусть имеем вероятность (5.4). Вычислим ее другим способом. Выберем любой момент времени (. Разобьем ось в момент времени на элементарные отрезки (см. рис. 5.2).

Вычислим вероятность события, что случайная величина из точки в момент времени попадет на отрезок в момент времени и далее на отрезок в момент времени

Рис. 5.2

Вероятность первого события определяется формулой

(5.6)

Далее, вероятность события, что величина попадет из отрезка на отрезок с точностью до величин порядка малости , определяется формулой

(5.7)

Предполагая независимость двух указанных событий, перемножим вероятности (5.6) и (5.7). Получим вероятность того, что случайная величина из точки попадет на отрезок и далее на отрезок :

(5.8)

Суммируя величины (5.8) по всем элементарным отрезкам на всей оси , получаем интегральную сумму:

. (5.9)

Полученная вероятность (5.9) равна величине (5.4), то есть

.

Так как отрезок произвольный, а подынтегральная функция непрерывна, то интеграл можно опустить.

В результате

,

то есть получено условие Маркова-Колмогорова-Чепмена (5.5).

В дальнейшем будем рассматривать стохастические процессы, для которых выполнены следующие условия при и :

,

,

, (5.10)

где - дважды непрерывно дифференцируемые функции [2, с. 140; 8; 13].

Условия (5.10) называются условиями сильной непрерывности марковского процесса, а процесс называется диффузионным.

Запишем предельные соотношения (5.10), используя символику бесконечно малых величин:

, (5.11)

, (5.12)

, (5.13)

где величины при . Физические размерности: - скорость в пространстве накоплений; .

Пример 5.1. В случае, когда величины - постоянные, переходная функция плотности вероятностей марковского стохастического процесса определяется выражением

, (5.14)

где , , .

Легко показать, что для функции (5.14) выполняются все определяющие соотношения (5.3), (5.5), (5.10).

Процесс называется винеровским, если . ■

Заметим, что функция (5.14) совпадает с гауссовской плотностью, если положить и .