7.7. Функции от марковских процессов

Рассмотрим марковский стохастический процесс , заданный на множестве элементарных событий. Марковский процесс определяется переходной функцией плотности вероятностейи функциями,из условий сильной непрерывности (5.10). Зададим новый стохастический процессс помощью функции

, (7.59)

которая при каждом преобразует множество точекв, где– множество элементарных событий процесса. Для определенности будем считать, что . Таким образом, процесс является функцией от процесса. Как было показано, стохастический процесстакже является марковским (см. утверждение 7.2). Возникает вопрос о вычислении переходной функции плотности вероятностейнового процесса.

Теорема 7.1. Если условная плотность вероятностей задает марковский стохастический процесс, тогда условная плотность вероятностей стохастического процесса (7.59), где– монотонно возрастающая функция по переменной,, определяется формулой

, (7.60)

где – обратная функция к функции (7.59);.

Доказательство. Для доказательства теоремы необходимо проверить свойства (5.1), (5.5), (5.10) для функции .

Очевидно, что , так какив силу монотонности функции. Проверим условие нормировки. Полагаяи учитывая (5.3), вычисляем интеграл

.

При доказательстве условия Маркова–Колмогорова–Чепмена для плотности воспользуемся формулой (5.5). Учитывая, что,,,, соотношение (7.60) запишем в виде (7.47). Выражая функциив равенстве (5.5) через функцию, получим

.

Введем новую переменную интегрирования , тогда получим условие Маркова–Колмогорова–Чепмена для функции:

.

Условие сильной непрерывности для плотности имеет следующий вид:

,

, (7.61)

,

где функции определяются формулами (7.56).

Вычисление пределов (7.61) осуществляется с помощью замены (7.60) и переходу к вычислению пределов (5.10).

7.8. Решение задачи Коши для дифференциального стохастического уравнения

Рассмотрим задачу Коши для стохастического уравнения (7.1):

(7.62)

, (7.63)

где марковский процесс определяется постоянными– по-

стоянные.

Для решения задачи (7.62), (7.63) применим метод, основанный на использовании формулы дифференцирования Ито. Предварительно запишем уравнение (7.62) в форме Ито, учитывая (7.34). Получим уравнение

. (7.64)

Построим новый стохастический процесс , являющийся функцией от процесса. Функциюнеобходимо подобрать таким образом, чтобы стохастическое уравнение для процессаприняло максимально простой вид и было аналитически разрешимым. Для уравнения (7.64) подходящей функцией является функция. Используя формулу дифференцирования Ито (7.41), запишем

, ,. (7.65)

К уравнению (7.65) добавим начальное условие

, . (7.66)

Решением задачи Коши (7.65), (7.66) является условная плотность вероятностей (5.14):

.

Учитывая формулу (7.47), определяем решение задачи (7.62), (7.63):

. (7.67)

Условная плотность вероятностей (7.67) после элементарных преобразований приводится к решению (7.24), полученному другим способом.

225