Соответствующая определяющая задача имеет вид

, ,

, . (7.35)

Естественно, для приложений являются важными случаи, когда задача (7.35) может быть решена аналитически.

7.5. Формула дифференцирования Ито

Пусть одномерный стохастический процесс подчиняется стохастическому дифференциальному уравнению

, (7.36)

где – винеровский процесс. Как известно, процесс, удовлетворяющий уравнению (7.36), является марковским с функциямииз условий сильной непрерывности (5.10).

Рассмотрим новый случайный процесс

, (7.37)

где – процесс, подчиняющийся уравнению (7.36);– монотонно возрастающая по переменнойдостаточно гладкая функция.

Проведем исследование процесса , воспользовавшись формулой Тейлора для приращения функции:

. (7.38)

Здесь – случайная величина, определяемая марковским процессом.

Запишем уравнение (7.36) в конечных приращениях

и подставим в (7.38), тогда

, (7.39)

где – случайная величина, а– винеровский процесс.

Будем считать, что величина реализована, то есть– –. Тогда, где случайная величинаопределяется условной плотностью вероятностей (5.14) при:

.

Вычислим математическое ожидание случайной величины :

.

В связи с этим в равенстве (7.38) пренебрегаем величинами второго порядка малости, то есть полагаем . Тогда

. (7.40)

Исследуем случайную величину . Для этого вычислим математическое ожидание и дисперсию.

.

.

.

Таким образом, дисперсия .

Пренебрегая величинами второго порядка малости, получаем . Случайная величина, для которой дисперсия равна нулю, является постоянной величиной и равна своему математическому ожиданию. В связи с этим, с точностью до величин второго порядка малости,. Произведя замену в формуле (7.40), получим

или в дифференциалах

. (7.41)

Формула (7.41) называется формулой дифференцирования Итостохастического процесса (7.37) [8, с. 269].

Разрешим уравнение (7.37) относительно , тогда. Подставимв (7.41) и представим функции, зависящие от переменной, как функции переменной. В результате получим стохастическое дифференциальное уравнение в форме Ито для процесса:

, (7.42)

где

, .

Вышеизложенное позволяет сформулировать следующее утверждение [18].

Утверждение 7.2. Пусть – марковский стохастический процесс. Рассмотрим процесс, где– монотонно возрастающая функция по переменной,. Тогда процесстакже является марковским стохастическим процессом. ■

7.6. Замена переменных в уравнениях Колмогорова

Рассмотрим условную плотность вероятностей марковского стохастического процесса , которая определяется функциямииз условий сильной непрерывности (5.10). Функцияподчиняется уравнению Колмогорова

. (7.43)

Перейдем в уравнении (7.43) от независимых переменных к новым независимым переменнымс помощью невырожденного преобразования

(7.44)

где – монотонно возрастающая функция по переменной,,; при фиксированном.

Обратное преобразование имеет вид

(7.45)

Вместо неизвестной функции в уравнении (7.43) введем новую неизвестную функцию

, (7.46)

где .

Производная обратной функции , поэтому

. (7.47)

Лемма 7.1. Если функция удовлетворяет уравнению (7.43), тогда после замены независимых переменных (7.44), (7.45) функция (7.46) удовлетворяет уравнению Колмогорова

, (7.48)

где

, . (7.49)

Доказательство. Подставим (7.47) в уравнение (7.43) и вычислим следующие производные, переходя к новым переменным :

,

; (7.50)

, (7.51)

. (7.52)

Подставим формулы (7.51), (7.52) в (7.50) и далее в уравнение (7.43). Получим уравнение в новых переменных:

. (7.53)

Преобразуем уравнение (7.48) и покажем, что оно совпадает с уравнением (7.53):

. (7.54)

Согласно с формулами (7.51) и (7.52), имеем

.

Подставляя эти формулы в уравнение (7.54), получаем

.

Учитывая выражения (7.49), легко показать, что

,

.

Это означает, что уравнения (7.48) и (7.53) совпадают. Лемма доказана. ■

Заметим, что в уравнении (7.48) переменная может быть заменена на переменнуюв силу второго равенства (7.44). Тогда

, (7.55)

где

,

. (7.56)

С другой стороны, функция удовлетворяет уравнению Колмогорова (5.65) по переменным:

. (7.57)

Лемма 7.2. Если функция удовлетворяет уравнению (7.57), тогда функция (7.46) удовлетворяет уравнению Колмогорова

. ■ (7.58)

Лемма доказывается подстановкой функции (7.47) в уравнение (7.57).