[Лекция 22]

7.4. Связь решений стохастических уравнений с фундаментальными решениями параболических уравнений

Рассмотрим стохастическое дифференциальное уравнение общего вида

, (7.26)

где – заданные неслучайные функции двух переменных;– марковский стохастический процесс, который определяется переходной функцией, которая в свою очередь определяется функциямииз соотношений (5.10). Ранеее было получено уравнение Колмогорова (5.56) для функциипо переменным:

, . (7.27)

Это означает, что марковский стохастический процесс описывается уравнением параболического типа (7.27).

Добавим к уравнению (7.26) начальное условие в момент времени . Получим задачу Коши, обобщающую задачу (6.78), (6.79).

Задача Коши для стохастического уравнения. Требуется определить условную плотность вероятностей случайного процессав момент временипри условии, что случайный процессудовлетворяет уравнениям

в , (7.28)

, (7.29)

где – заданная постоянная величина,. ■

Дадим геометрическую интерпретацию решения задачи и построим приближенное решение. Произвольный временной отрезок разобьем на элементарные интервалыточками,,. Рассмотрим пространствораспределения случайной величиныв момент(см. рис. 7.1).

Рис. 7.1

Запишем уравнение (7.28) в виде конечных разностей (6.15). Используя начальное условие , вычисляем последовательно. При этом случайная величина, распределенная с плотностью вероятностей, определяется с помощью численного моделирования. Точкиобразуют возможную траекторию случайной величиныс течением времени. После многочисленных реализаций разностной схемы (6.15) получим множество траекторий (см. рис. 7.1). Концевые точкиэтих траекторий, где– номер траектории,, образуют плотностьна пространстве. В качестве функциирассмотрим кусочно-постоянную функцию, содержащую по десять точек на каждом отрезке с постоянным значением:;

, ;…;,

; …; ,. Здесьвыбрано кратным 10.

Далее определим предельную плотность , а решение задачи (7.28), (7.29) определим как предел

, .

При этом предполагается, что предел не зависит от разбиений .

Рассмотрим частный случай задачи (7.28), (7.29), когда – винеровский процесс.

Задача Коши для стохастического уравнения в форме Ито. Требуется вычислить плотность процесса, который удовлетворяет условиям:

в , (7.30)

, (7.31)

где –дрейф; –волатильность процесса [12, с. 42]. Уравнение (7.30) называется стохастическим уравнением вформе Ито. ■

Известно [8, с. 281, 286, 287, 294], что уравнение (7.30) сводится к уравнению Колмогорова для плотности :

, . (7.32)

Сравнивая уравнения (7.27) и (7.32), заключаем, что уравнение (7.30) порождает марковский процесс , который определяется функциями,.

Для выделения единственного решения уравнения (7.32), учитывая предельное соотношение (5.32) для марковского процесса, к уравнению (7.32) добавим начальное условие и сформулируем определяющую задачу Коши (5.78):

, ,

, . (7.33)

Как известно, единственное решение задачи (7.33) является фундаментальным решением уравнения (7.32). Таким образом, решение задачи Коши (7.30), (7.31) для стохастического уравнения является переходной функцией плотности вероятностей марковского процесса , которая определяется как решение задачи (7.33) для параболического уравнения.

Марковский процесс подчиняется уравнению (7.27). Поэтому в соответствии со связью между уравнениями (7.30), (7.32) запишем стохастическое уравнение в форме Ито для процесса:

. (7.34)

Подставляя (7.34) в (7.28), преобразуем задачу (7.28), (7.29) к форме Ито:

в ,

.