4. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Во второй главе была поставлена задача Коши для уравнений с частными производными общего вида, в частности для уравнений эллиптического типа. Рассмотрим еще один класс задач, характерных только для эллиптических уравнений (1.69) и называемых краевыми задачами (граничными задачами). При постановке краевых задач условия на искомую функцию ставятся не на части поверхности, а на всей граничной поверхности, охватывающей выделенную область пространства. Краевые задачи изучим на примере уравнений Лапласа и Пуассона.

[Лекция 13]

4.1. Формулы Грина для оператора Лапласа

Гармонические функции. Для простоты изложения ограничимся трехмерным евклидовым пространством с декартовой системой координат . В пространстве рассмотрим простейшее эллиптическое уравнение – уравнение Лапласа:

. (4.1)

В плоском случае имеем уравнение (1.83).

Выделим ограниченную связную область . Пусть граница области представляет собой поверхность без самопересечений, (см. определение 2.1).

Определение 4.1. Функция называется гармонической в области , если и удовлетворяет уравнению Лапласа (4.1) в области . ■

В параграфе 1.6 был описан метод построения гармонических функций на плоскости . Укажем на исключительную роль при исследовании краевых задач для уравнения (4.1) фундаментального решения (1.86).

Первая, вторая и третья формулы Грина. При изучении свойств решений уравнения (4.1) важную роль играют формулы Грина, связывающие значения функций на границе и внутри области .

Для вывода воспользуемся формулой векторного анализа

, (4.2)

где - скалярная функция; - вектор-функция, то есть векторное поле в области ; - скалярное произведение векторов и .

Дифференциальные операторы определяются формулами

, .

Выберем , , где произвольные функции , , , .

После подстановки в (4.2) получим

,

так как .

Проинтегрируем полученное тождество по области , тогда

Преобразуем интеграл слева к поверхностному интегралу, используя формулу Остроградского-Гаусса

,

где - внешняя единичная нормаль к поверхности , а . В результате получим первую формулу Грина:

, (4.3)

где - нормаль к поверхности в точке ; - производная по нормали;

.

В формуле (4.3) поменяем местами функции и вычтем из формулы (4.3), получим вторую формулу Грина

, (4.4)

где .

В равенстве (4.3) положим , получим формулу

, (4.5)

называемую третьей формулой Грина.

4.2. Интегральная формула Грина

В теории гармонических функций важную роль играет интегральная формула Грина, в которой значение функции в любой внутренней точке области выражается через значения функции на границе области . Для вывода такой формулы во второй формуле Грина (4.4) функцию выберем специальным образом, положив ее равной фундаментальному решению (1.86), то есть приняв , где . Подстановка такой функции в (4.4) неправомочна, так как функция имеет особенность в точке В связи с этим опишем вокруг точки сферу радиуса и рассмотрим область , заключенную между поверхностями и (см. рис.4.1).

Рис. 4.1

В области выбранная функция , , принадлежит пространству , поэтому для области имеет место вторая формула Грина:

. (4.6)

Здесь, так как - фундаментальное решение уравнения Лапласа.

Преобразуем интеграл по сфере :

. (4.7)

Вычислим

.

Точка , поэтому . Таким образом, в выражении (4.7) , .

Преобразуем каждый интеграл в отдельности, используя теорему о среднем:

,

,

где - некоторая точка на сфере .

Полученные выражения подставим в (4.6), тогда

Перейдем к пределу при . Так как при , то

в силу непрерывности функции В результате получим интегральную формулу Грина:

(4.8)

где - любая функция из пространства , – внешняя единичная нормаль к поверхности в точке .

Если - гармоническая функция (), тогда получим интегральную формулу для гармонических функций:

. (4.9)

Замечание 4.1. Формула (4.8) может быть получена с использо-ванием обобщенных функций. Действительно, для фундаментального решения (1.86) имеет место формула (2.91), то есть

, (4.10)

где - - функция Дирака.

Подставляя (4.10) в формулу (4.4) и используя свойство - функции (2.71), вычисляем интеграл:

.

В результате из второй формулы Грина (4.4) следует формула (4.8). ■

Замечание 4.2. Заменив фундаментальное решение (1.86) на функ-цию (1.84), получим интегральную формулу Грина в плоском случае :

,

где - плоская область, ; – внешняя единичная нормаль к контуру в точке . ■

4.3. Свойства гармонических функций

Свойство 4.1. Пусть - гармоническая функция в области , тогда функция любое число раз непрерывно дифференцируема по координатам в области , то есть .

Доказательство. Не нарушая общности, можно считать, что . Воспользуемся интегральной формулой Грина (4.9):

, (4.11)

где - внутренняя точка области Докажем дифференцируемость функции (4.11) в окрестности любой точки . Пусть - замкнутая шаровая область радиуса , описанная вокруг точки . В подынтегральном выражении (4.11) функция любое число раз непрерывно дифференцируема по координатам точки , так как , а расстояние . Следовательно, всевозможные производные

являются непрерывными функциями на множестве точек и . На основании соответствующей теоремы из математического анализа выражение (4.11) дифференцируемо и имеет место формула

Из произвольности точки следует, что . ■

Свойство 4.2. Теорема о нормальной производной. Пусть любая функция и является гармонической в области , тогда

(4.12)

Доказательство. Воспользуемся первой формулой Грина (4.3), где произвольная функция . Положим , тогда из условия теоремы. В результате формула (4.3) преобразуется к виду (4.12). ■

Рассмотрим произвольную точку . Опишем вокруг точки сферу радиуса , такую, что замкнутый шар сферы целиком содержится внутри области . Выведем формулу, выражающую значение гармонической функции в центре сферы, то есть в точке , через значения на сфере .

Свойство 4.3. Теорема о среднем. Пусть - гармоническая функция в области , тогда для и сферы , , имеет место формула

(4.13)

где - площадь сферы.

Доказательство. Рассмотрим интегральную формулу Грина (4.9) для сферы , взяв в качестве точки центр сферы:

.

Так как , то .

В результате

.

Учитывая соотношение (4.12) для поверхности , получаем требуемую формулу (4.13). ■

В плоском случае с учетом замечания 4.2 имеем формулу

.

4.4. Принцип максимума и минимума

для гармонических функций

Рассмотрим связную ограниченную область с границей . Будем считать для определенности, что . В области задана функция .

Свойство 4.4. Принцип максимума и минимума. Пусть и удовлетворяет в области уравнению Лапласа . Тогда функция достигает своего максимального и минимального значений на границе , то есть

.

Доказательство. От противного. Пусть максимум функции достигается в некоторой внутренней точке , то есть

для . (4.14)

Опишем вокруг точки сферу радиуса , которая вместе со своим шаром принадлежит области (см. рис.4.2)

Рис.4.2

Для сферы имеет место формула (4.13) из теоремы о среднем:

.

Представим эту формулу в виде

, (4.15)

где функция в силу неравенства (4.14).

Покажем, что для . От противного, пусть существует точка такая, что . Функция непрерывная, поэтому существует окрестность точки , то есть , для которой при. Поэтому

,

что противоречит условию (4.15). Таким образом, при . Так как радиус произвольный, то будем его увеличивать до касания сферы с границей в точке . В результате , то есть максимум достигается в точке на границе .

Для минимума доказательство проводится аналогично. ■

Заметим, что принцип максимума и минимума и другие свойства имеют место для гармонических функций в пространстве произвольной размерности.

Приведем некоторые следствия из принципа максимума и минимума, аналогичные следствиям 2.1-2.4.

Следствие 4.1. Пусть функции и являются гармоническими в . Если для , то для . ■

Следствие 4.2. Пусть функции и являются гармоническими в . Если для , то для . ■

Следствие 4.3. Пусть функции и являются гармоническими в . Если для , то для . ■

Следствие 4.4. Пусть функция и является гармонической в области . Если , , для , то для . ■

127