Учебник по УМФ / Учебник по УМФ / nl18

За промежуток времени точка (семья) пройдет путь Путь измеряется в рублях - полная аналогия с метрами. Это означает, что все семьи, находящиеся на отрезке , за промежуток попадут на отрезок через точку (см. рис. 6.3).

Рис. 6.3

Так как плотность семей в окрестности точки равна , то количество семей, которое за время попадет на отрезок через точку , определяется выражением

(6.20)

Аналогично для точки имеем

(6.21)

– число семей, которое за время попадет на отрезок через точку . Знак «–» присутствует в формуле (6.21) в связи с тем, что при положительном величина (6.21) означает отток семей из отрезка .

Суммируя (6.20) и (6.21), получаем

– число семей, которое попадет на за время . Далее разобьем промежуток на интервалы . Суммируя по всем промежуткам времени от до , получаем интегральную сумму:

.

Таким образом,

. (6.22)

Вычислим Рассмотрим два момента времени и и две оси , изображающие пространства накоплений в эти моменты времени.

Вычислим число семей, которые переместятся на отрезок к моменту времени из множества , начиная с момента , за счет случайных накоплений. Для этого множество разобьем на элементарные отрезки длиной (см. рис. 6.4). На элементарном отрезке находится в момент времени семей. Эти семьи через промежуток времени распределятся по всей оси , но в момент времени с плотностью вероятностей .

Рис. 6.4

Интеграл означает вероятность того, что семья из точки попадет на отрезок в момент времени .

Отсюда следует, что

(6.23)

– число семей, которое переместится из отрезка на отрезок .

Суммируя величины (6.23) по всем отрезкам множества , получаем интегральную сумму

. (6.24)

Величина означает количество семей, которое попадет из множества на отрезок за время

Теперь вычислим число семей , которое перейдет из отрезка на множество .

Очевидно, что

В результате прирост семей за время на отрезке определится величиной

.

Переставим интегралы и преобразуем

.

Учитывая формулу (5.3), получаем

(6.25)

Воспользуемся леммой 5.2, в которой получена формула (5.35):

(6.26)

.

Вернемся к соотношению (6.25). Будем считать, что для выполнены все условия леммы 5.2, тогда используя (6.26), заменим (6.25) эквивалентной величиной при . В результате

(6.27)

Суммируя эти интегралы по всем элементарным интервалам , на которые разбивается временной отрезок , получаем интегральную сумму:

(6.28)

Вычислим . Для этого введем вспомогательную функцию , – число семей, которые попадут из других ансамблей семей на отрезок единичной длины пространства N за единичный интервал времени в окрестности и . Очевидно, что

. (6.29)

Подставив (6.19), (6.22), (6.28), (6.29) в уравнение баланса (6.18), получим интегральное тождество

.

Опуская интегралы в силу теоремы о среднем и произвольности интервалов интегрирования , , получаем параболическое уравнение с частными производными

, (6.30)

которому удовлетворяет плотность семей на пространстве накоплений. Уравнение (6.30) будем называть уравнением денежных накоплений ансамбля семей.

Заметим, что уравнение (6.30) по своей структуре совпадает с уравнением (5.56) для переходной функции плотности вероятностей.

Если стохастический процесс отсутствует , мы получаем уравнение первого порядка .

180