Учебник по УМФ / Учебник по УМФ / nl18

6. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ДЕНЕЖНЫХ

И МАТЕРИАЛЬНЫХ НАКОПЛЕНИЙ

Теория уравнений с частными производными в большей степени возникла и развивалась как математический аппарат для построения математических моделей, описывающих физические процессы. В последнее время появился значительный интерес к разработке математических методов исследования в таких трудно формализуемых областях, как биология, медицина, экономика и социология. Данная глава иллюстрирует возможность построения математических моделей социально-экономических процессов, использующих уравнения с частными производными и учитывающих случайные факторы, характерные для таких явлений.

[Лекция 18]

1. Моделирование денежных накоплений семьи

с помощью обыкновенных

стохастических дифференциальных уравнений

Для математического моделирования денежных накоплений семьи предварительно необходимо ввести некоторые упрощающие допущения, применяемые при моделировании, а также функции и параметры, описывающие динамику денежных накоплений, и дать экономическую и физическую интерпретацию величин. Основной принцип, который используется при моделировании в данном случае, это принцип сплошных сред.

В реальности накопления семьи имеют в большей степени дискретный характер: семья получает зарплату и накопления семьи скачкообразно возрастают и далее не изменяются до ближайшей траты денег. При расходах накопления семьи скачкообразно уменьшаются, то есть накопления определяются кусочно-постоянной функцией времени.

Пусть конкретная семья к моменту времени накопила общую сумму денег, которую мы обозначим через . При построении непрерывной модели функцию надо рассматривать как непрерывно изменяющуюся во времени. Этого можно достичь, если предположить, что зарплата выдается непрерывно и к концу месяца достигает оклада. Аналогично и для расходов. В последующем для использования при моделировании дифференциальных уравнений придется предполагать, что функция является даже дифференцируемой.

Вычислим производную функции , то есть предел:

= . (6.1)

Производная означает скорость изменения денег в семье. Если ввести ось , на которой откладывать накопления конкретной семьи, то получим пространство накоплений N, на котором в момент времени семья обозначается точкой (см. рис. 6.1).

Рис. 6.1

С течением времени точка перемещается по пространству накоплений со скоростью . Здесь полная аналогия с обычной скоростью движения материальной точки в метрическом пространстве. Размерность =.

Предположим, что скорость (6.1) может быть вычислена другим способом. Возможность вычислений другим способом возникает при детальном изучении процесса трат и заработков в семье. Предположим, что скорость выражена в виде некоторой функции - функции двух переменных и . В результате получим

. (6.2)

Уравнение (6.2) – обыкновенное дифференциальное уравнение, которое описывает динамику доходов семьи; - неизвестная функция; - заданная функция. Если в начальный момент времени известны накопления семьи, то имеем начальное условие:

. (6.3)

Получена задача Коши (6.2), (6.3) для обыкновенного дифференциального уравнения.

Вид функции в (6.2) зависит от конкретной семьи и от ее экономической деятельности. Чем точнее мы запишем аналитически функцию , тем точнее будет математическая модель. Функцию глобально можно представить в виде

где – функция, которая описывает доходы семьи (= ), а функция – расходы семьи . Действительно, если то то есть функция возрастает – накопления семьи увеличиваются. Если , то , то есть функция убывает – накопления семьи уменьшаются.

Если функция принимает отрицательное значение, то этот случай будем интерпретировать как долг семьи.

Дадим примеры задания функций и [15].

1. Структура доходов семьи :

.

а) Твердые, постоянные доходы .

- заработная плата семьи . Если зарплата семьи не изменяется со временем, тогда =. Если предположить изменение зарплаты, тогда .

б) Твердый доход от вложений в сбербанк.

(6.4)

Предположим, что семья всю имеющуюся наличность вкладывает в сбербанк на . Коэффициент = = , , .

Функция - пороговая функция (-функция):

, (6.5)

где - минимальная величина накоплений, позволяющая сделать вложение в сбербанк.

В результате получим функцию доходов семьи:

. (6.6)

2. Структура расходов семьи :

.

а) Минимальные повседневные расходы, обеспечивающие существование семьи .

В эту часть расходов входит оплата коммунальных услуг, минимального питания, расходов на необходимую одежду, транспортные расходы. - постоянная величина, или функция времени .

б) Повседневные расходы, обеспечивающие благополучие семьи.

Эта категория расходов связана с тем, что если семья имеет излишки денег, то она увеличивает расходы на улучшение питания, на такси, на театр, на модную одежду и т. д. Эту функцию расходов качественно представим в виде

. (6.7)

Размерность =. При , то есть при увеличении накоплений семьи, . Смысл коэффициента – это ежемесячные расходы, обеспечивающие благополучное существование семьи.

Какие бы не были накопления, семья более рублей в месяц не сможет тратить на удовлетворение основных потребностей в силу естественной целесообразности; - величина накоплений, обеспечивающая полублагополучное существование: при ; - минимальное накопление, позволяющее начать улучшение качества жизни.

в) Расходы на элитарные товары .

При достаточно больших накоплениях семья может позволить приобретение товаров, которые не являются товарами первой необходимости (видеотехника, автомобиль, дача). Зададим с помощью выражения

. (6.8)

Размерность . При , то есть при увеличении накоплений семьи, . Смысл коэффициента - это ежемесячные расходы, обеспечивающие роскошное существование семьи. Здесь - цена наиболее дешевого элитарного товара. Если, то за счет наличия -функции расходы (6.8) прекращаются; - цена товара ˝средней˝ роскоши: при .

В результате получим функцию расходов семьи:

. (6.9)

Для обеспечения дифференцируемости функций (6.6), (6.9) ступенчатую -функцию (6.5) заменяют гладкой функцией .

Таким образом, уравнение (6.2) имеет вид

. (6.10)

Заметим, что при наличии инфляции величины являются функциями времени , так как изменяются при росте цен.

Приведенное математическое описание доходов и расходов может быть уточнено при более детальном исследовании экономической деятельности семьи.

Запишем уравнение (6.10) в дифференциалах:

. (6.11)

В реальности семья, помимо гарантированных доходов и расходов, может иметь случайные доходы и расходы (премия, расходы в связи с болезнью и др.). Для математического описания такого явления введем случайную величину , означающую общее количество денег, которое семья к моменту времени накопит из случайных источников. Величина -суммарные случайные накопления семьи к моменту времени , где -бесконечно малый интервал времени.

Рассмотрим величину

, (6.12)

которая означает случайный доход семьи за элементарный промежуток времени при и случайный расход при .

Эту величину будем называть стохастическим дифференциалом случайного процесса Добавив величину (6.12) к уравнению (6.11), получим

(6.13)

Уравнение (6.13) называется стохастическим дифференциальным уравнением, где не является дифференциалом в обычном смысле.

В более общем случае

. (6.14)

В дальнейшем предположим, что - неслучайные функции, а - марковский стохастический процесс.

Дадим следующую интерпретацию уравнению (6.14). Для стохастического дифференциала (6.12) величину будем понимать как реализованную случайную величину, которая в момент времени приняла конкретное значение . Случайная величина определяется плотностью вероятностей , так как - марковский процесс (см. параграф 5.1).

Запишем уравнение (6.14) в конечных разностях:

.

Отождествим

,

тогда

, .

Эти соотношения могут быть использованы для численного определения величины . Разобьем временной интервал на элементарные временные отрезки . Обозначим , , , , тогда

, (6.15)

где случайные величины определяются плотностью вероятностей

и могут быть реализованы численно.

Используя начальное условие (6.3) и разностную схему (6.15), определяем приближенные значения величины в моменты времени , то есть определяем одну из возможных траекторий случайной величины . Аналитически стохастические дифференциальные урав-нения исследуются с помощью стохастических интегралов Ито и Стратоновича [8, 18].

6.2. Параболическое уравнение денежных накоплений

Предположим, что имеется семей, доходы которых описываются одним и тем же уравнением (6.13). В этом уравнении для стохастического дифференциала величину будем понимать как реализованную случайную величину, которая в момент времени приняла конкретное значение . Это означает, что семья в момент времени имела рублей накоплений. Причем эти накопления включают как детерминированные, так и случайные накопления. Отождествим . Случайная величина описывает случайные накопления семьи в момент времени при условии, что семья в предыдущий момент времени имела накоплений . Эта случайная величина задается плотностью вероятностей . Начальные стартовые условия (6.3) для каждой семьи различны. В связи с этим семьи некоторым образом распределены по оси . Предположим, что - достаточно большое число. В результате мы имеем некоторую совокупность семей – ансамбль семей. Возникает задача о математическом описании денежных накоплений ансамбля семей при игнорировании динамики накоплений отдельной семьи.

Понятно, что семьи в каждый момент времени распределены неравномерно по оси . Применим принцип сплошных сред, вводя функцию, которая опишет распределение семей по накоплениям.

Рассмотрим ось , на которой поместим точек. Координата каждой точки означает количество денег, которое эта семья имеет в момент (см. рис. 6.2).

Рис. 6.2

Рассмотрим достаточно малый интервал длины и пусть число точек (семей) на отрезке в момент времени .

Введем функцию

, (6.16)

где - плотность распределения семей по накоплениям (плотность семей). Размерность .

Понятно, что

(6.17)

– число семей с денежными накоплениями в пределах отрезка в момент времени . Имеем

Выведем дифференциальное уравнение для функции . Для этого рассмотрим произвольный интервал . Обозначим множество .

Со временем накопления семей меняются, поэтому точки, обозначающие семьи, перемещаются по оси . За промежуток времени часть семей попадет на отрезок , часть выйдет из этого отрезка. Запишем уравнение баланса семей для интервала за промежуток времени от до :

, (6.18)

где - изменение числа семей за время от до , которые имеют накопления в пределах интервала ; - число семей, которые попадают на интервал за время от до за счет детерминированных доходов и расходов; - за счет случайных доходов и расходов; – число семей, которые попадают на интервал за время от до за счет эмиграции.Отметим, если – отрицательные величины, то это означает, что семьи покидают отрезок .

Вычислим . Используя выражение (6.17), получаем

. (6.19)

Вычислим . Рассмотрим произвольную семью в окрестности точки . Так как со временем накопления семьи изменяются, то точка движется на оси со скоростью в соответствии с уравнением (6.2). Причем точка движется вправо, если - скорость за счет детерминированных накоплений.