ЛИТЕРАТУРА

1. Тихонов А. Н., Самарский A А. Уравнения математической физики. М.: Наука,

1977. 1977.

2. Самарский А. А., Михайлов А. П. Математическое моделирование. Идеи. Ме-

тоды. Примеры. М.: Наука, 1997.

3. Смирнов В. И. Курс высшей математики. М.: Наука, 1974. Т. 2. 1981. Т. 4, ч. 2.

4. Петровский И. Г. Лекции об уравнениях с частными производными. М.:

ГИФМЛ, 1961.

5. Владимиров В. С. Обобщенные функции в математической физике. М.: Наука,

1976.

6. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. М.: Высш. шк., 1988. Т. 2.

7. Масленникова В. Н. Дифференциальные уравнения в частных производных.

М.: Изд-во РУДН, 1997.

8. Волков И. К., Зуев С. М., Цветкова Г. М. Случайные процессы. М.: Изд-во

МГТУ, 1999.

8. Уроев В. М. Уравнения математической физики. М.: ИФ «Яуза», 1998.

10. Гихман И. И., Скороход А. В. Стохастические дифференциальные уравнения.

Киев: Наукова думка, 1968.

11. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционально-

го анализа. М.: Наука, 1976.

12. Медведев Г. А. Математические модели финансовых рисков. Минск: БГУ,

1999. Ч. 1.

12. Розанов Ю. А. Случайные процессы. М.: Наука, 1979.

13. Ширяев А. Н. Основы стохастической финансовой математики. М.: Фазис,

1998. Т.1, 2.

12. Чернавский Д. С., Попков Ю. С., Рахимов А. Х. Математические модели типо-

логии семейных накоплений // Экономика и математические методы. 1994.

Т.30. Вып.2. С. 98-106.

12. Колмогоров А. Н Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Наука,

1986.

12. Ашманов С. А. Математические модели и методы в экономике. М.: Изд-во

МГУ, 1980.

12. Оксендаль Б. Стохастические дифференциальные уравнения: Введение в тео-

рию и приложения. М.: Мир, 2003.

12. Бицадзе А. В., Калиниченко Д. Ф. Сборник задач по уравнениям математической

физики. М.: Наука, 1977.

12. Владимиров В. С., Михайлов В. П. и др. Сборник задач по уравнениям математи-

ческой физики. М.: Наука, 1982.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие

1. Классификация уравнений

   1. Основные понятия об уравнениях с частными производными ……. 4

   2. Замена независимых переменных в уравнениях второго порядка с двумя переменными ………………..…………………………………. 13

   3. Приведение к каноническому виду уравнений второго

порядка с двумя независимыми переменными ……………………… 22

4. Классификация и приведение к каноническому виду уравнений второго порядка со многими независимыми переменными ……… 26

5. Исключение в уравнениях младших производных ………………… 31

6. Классические решения простейших уравнений с частными произ-

водными второго порядка ….……………………………………… 32

7. Общее решение уравнений с частными производными первого порядка ………………………………………………………………… 38

Задачи к главе 1………………………………………………………… 40

2. Задача Коши для уравнений с частными производными

   1. Постановка задачи Коши. Теорема Ковалевской ………….……….. 41

   2. О корректной постановке задачи Коши ……………………………… 50

2.3. Примеры некорректно поставленных задач Коши ……….………… 51

4. Задача Коши для уравнения колебаний струны …………………….. 56

5. Метод интегральных преобразований для задачи Коши …………... 60

6. Принцип максимума и минимума для уравнения теплопроводности 63

7. Корректность задачи Коши для уравнения теплопроводности …… 66

8. Обобщенные функции ………………………………………………… 70

9. Фундаментальные решения дифференциальных уравнений …….. 75

Задачи к главе 2 ………………………………………………………… 79

3. Смешанные задачи для гиперболических и параболических уравнений

   1. Постановка смешанных задач для уравнения колебаний струны … 80

   2. Постановка смешанных задач для уравнения теплопроводности в стержне ………………………………………………………………… 85

   3. Постановка смешанных задач для уравнения теплопроводности в пластине ……………………………………………………………… 87

   4. Задача Штурма-Лиувилля ……….…………………………………… 90

   5. Схема метода разделения переменных для решения смешанных задач …………………………………………….……………………… 95

   6. Решение методом разделения переменных первой смешанной за- дачи для однородного уравнения колебаний струны ………………. 99

   7. Сведение смешанной задачи с неоднородными граничными усло-

виями к задаче с однородными граничными условиями ………. 102

8. Метод разделения переменных для решения смешанных задач с неоднородным уравнением ...………………………………………… 105

9. Решение методом разделения переменных первой смешанной задачи для однородного уравнения теплопроводности в стержне .. 108

10. Корректность первой смешанной задачи для уравнения теплопро-водности ……………………………………………………………….. 110

11. Решение методом разделения переменных первой смешанной задачи для однородного уравнения теплопроводности в пластине 114

Задачи к главе 3 ……………………………………………………… 118

4. Краевые задачи для эллиптических уравнений

   1. Формулы Грина для оператора Лапласа ………………….………….. 119

   2. Интегральная формула Грина ……………………………..………….. 121

   3. Свойства гармонических функций ………………………..………….. 124

   4. Принцип максимума и минимума для гармонических функций … 126

   5. Задача Дирихле для уравнения Пуассона ……………………………. 128

   6. Задача Неймана для уравнения Пуассона…………………………….. 131

   7. Решение задачи Дирихле для круга методом разделения переменных 134

Задачи к главе 4 ………………………………………………………… 138

4. Дифференциальные модели для стохастических процессов

5.1. Одномерные марковские стохастические процессы …………………. 139

5.2. Многомерные марковские стохастические процессы ………………… 144

5.3. Свойства условной плотности вероятностей одномерных стохасти-

ческих процессов ……..…………………………………………… 148

5.4. Свойства условной плотности вероятностей двухмерных стохасти-

ческих процессов ……………………………………………………… 153

5.5. Уравнения Колмогорова для стохастических процессов ………….. 158

5.6. Определяющие задачи для стохастических процессов………………. 162

Задачи к главе 5 …………………………………………………………. 166

6. Математические модели денежных и материальных накоплений

1. Моделирование денежных накоплений семьи с помощью обыкновен-

ных стохастических дифференциальных уравнений …...…….……. 167

6.2. Параболическое уравнение денежных накоплений …………… 173

6.3. Моделирование денежных и материальных накоплений семьи с по-

мощью системы дифференциальных стохастических уравнений ……. 180

4. Двухмерное параболическое уравнение денежных и материальных

накоплений ансамбля семей ……………………….…..……………... 183

4. Постановка задач для уравнения денежных накоплений ансамбля

семей ……………………………………………………………………… 190

4. Постановка задач для уравне яния денежных и материальных накоп-

лений ………………………………………………………….……….. 196

Задачи к главе 6…………………………………………………………... 201

7. Математическое моделирование динамики стоимости ценных бумаг

7.1. Ценные бумаги ………………………………………………………….. 202

7.2. Параболическое уравнение для плотности акций в пространстве цен . 204

7.3. Смешанная задача для уравнения плотности акций …………………… 210

7.4. Связь решений стохастических уравнений с фундаментальными реше-

ниями параболических уравнений ………………………………….. 213

5. Формула дифференцирования Ито …………………………………… 216

6. Замена переменных в уравнениях Колмогорова …………………….. 219

7. Функции от марковских процессов ………………………………….. 222

8. Решение задачи Коши для дифференциального стохастического

уравнения ……………………………………………………………… 223

5. Вычисление функции стоимости опциона из уравнения Блэка-Шоулса 225

6. Обоснование уравнения Блэка-Шоулса ………………………………. 228

Задачи к главе 7 …………………………………………………………. 232

8. Математические модели в теории потребления

8.1. Функция полезности на товарном пространстве …………………….. 233

8.2. Уравнение Слуцкого в теории потребления ………………………… 236

Литература ……………………………………………………………………… 241

Учебное издание

Ерофеенко Виктор Тихонович

Козловская Инесса Станиславовна

УРАВНЕНИЯ

С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

В ЭКОНОМИКЕ

Курс лекций

В авторской редакции

Тхнический редактор Т.К. Раманович

Корректор Л.В. Рутковская

246