45.Несобственные интегралы 1-го и 2-го рода. Сходимость интегралов.

Несобственный интеграл 1-го рода.

Определение. Пусть функция f ( x) определена при x≥a и имеет определенные интегралы при∀b>a . Эти интегралы называются частными. Если существует конечный предел , то он называется несобственным интегралом 1-го рода и обозначается, при этом говорят, что интеграл сходится. В противном случае – расходится.

Несобственный интеграл 2-го рода.

Определение. Пусть функция f (x) определена на полуинтервале [a ,b) и не ограничена вблизи точки b, которую в этом случае будем называть особой. Пусть для любого существуют определенные интегралы, которые будем называть частными интегралами. Если существует конечный предел, то он называется несобственным интегралом 2-го рода и обозначается.

45. Несобственные интегралы 1-го и 2-го рода . Сходимость интегралов.

45. Абсолютная и условная сходимости несобственного интеграла.

45. Числовые ряды, основные понятия, сходимость ряда. Общие признаки сходимости ряда.

45. Свойства сходящихся рядов. Действия с рядами.

45. Ряды с неотрицательными членами. Теоремы сравнения рядов. Признаки сходимости положительных рядов.

45. Арифметическое n-мерное пространство. Расстояние между точками пространства. Открытый и замкнутый шар в n-мерном пространстве.

Множество всех упорядоченных совокупностей по n чисел (х1,х2,...,хn) называется арифметическим n-мерным пространством (Rn)

(n - размерность пространства).

Совокупность точек n-мерного пространства, для которых определено расстояние по формуле (1.1), называется n-мерным Евклидовым пространством.

 Свойства расстояния между двумя точками:

                   1. r(А,В) ³ 0,  причем если r(А,В) = 0, следовательно, А = В.

                   2. r(А,В) = r(В,А) для всех точек А, В Î Rn,

                   3. r(А,C) £ r(A,В) + r(B,C) для всех точек А, В, C Î Rn,

51.Предел последовательности n-мерных точек.

52. Предел функции многих переменных, два определения.

а) Определение предела по Коши. Число А называется пределом функции в точке, если эта функция определена в некоторой окрестности точки, за исключением, быть может, самой точки, и для каждогонайдется числотакое, что для всех, удовлетворяющих условию, выполняется неравенство.

В этом случае пишут илипри.

б) Определение предела по Гейне. Число А называется пределом функции f(x) в точке , если эта функция определена в некоторой проколотой окрестности точки, т.е., и для любой последовательности {x_n}, сходящейся к . И такой, что для всех , соответствующая последовательность значений функции сходится к числу А.

Теорема. Определения предела функции по Коши и по Гейне эквивалентны.

53. Непрерывные функции многих переменных.

Определение 1: Функция называется непрерывной в точке, если предел функции в этой точке существует и равен значению функции в этой точке, т.е.

или

Определение 2: Функция называется непрерывной в точке, если ее приращение в этой точке является бесконечно малой функцией при

По аналогии с определением предела функции:

Определение по Коши. Функция называется непрерывной в точке, если для любогосуществуеттакое, что для всех, удовлетворяющих условию, выполняется неравенство.

Точки, в которых функция не обладает свойством непрерывности, называются точками разрыва этой функции.

Если (), то функциюназывают непрерывной в точкесправа (слева). Если функциянепрерывна в точкеи слева, и справа, то она непрерывна в этой точке. В данном случае, по теореме связи между односторонними пределами и пределом функции, предел функции в точкеравен значению в этой точке

Теорема об арифметических действиям над непрерывными функциями: Пусть функции инепрерывны в точке. Тогда,и (при ) также непрерывны в той точке.